省选模拟赛 arg

1 arg (arg.cpp/in/out, 1s, 512MB)
1.1 Description
给出一个长度为 m 的序列 A, 请你求出有多少种 1...n 的排列, 满足 A 是它的一个 LIS.
1.2 Input Format
第一行两个整数 n,m.
接下来一行 m 个整数, 表示 A.
1.3 Output Format
一行一个整数表示答案.
1.4 Sample
1.4.1 Input
5 3
1 3 4
1.4.2 Output
11
1.5 Constraints
对于前 30% 的数据, n ≤ 9;
对于前 60% 的数据, n ≤ 12;
对于 100% 的数据, 1 ≤ m ≤ n ≤ 15.

分析：挺难的一道题.

　　　next_permutation+暴力判断可以骗得30分. 阶乘复杂度是肯定不行的，指数复杂度才可以.

　　　那么状压dp？可以参考hdu4352的状压方法. 那还有一维表示什么呢？ 我一开始想的是表示前i个数，这样推出来的答案显然是不对的.于是我又想着表示插入了1~i这些数. 错的更离谱了......为什么一定要按顺序插入呢？

　　　正确的状态表示方法应该是f[s][S]，s表示所有数的状态（选中or没选中），S表示lis的状态.每次从s中选择一个没有被选中的数转移即可.这样就保证了选的数不会重复.

　　　但是这样复杂度太高了. 而且数组开不下.尝试去优化它. 一个比较明显的结论：S一定是s的子集. 出现在lis中的数在原数列中一定已经出现了.所以可以将状态压成3进制. 第i位为0表示这个数既没有出现在原数列中，也没有出现在lis中,1表示都出现了,2表示没有出现在lis中.这样的话数组就能开下了,时间复杂度O(3^n * n),可以过.

　　　还有一个关键的问题：如何保证A是排列的lis呢？ 两个约束条件:

　　　1.ai出现的位置一定在ai+1出现的位置之前.

　　　2.lis的长度正好＝m.

　　　对于第一个约束条件，在转移的时候判断一下上一位是否已经出现在lis中即可.

　　　对于第二个约束条件，如果转移后得到的新状态的lis长度>m，则不转移.  因为保证状态中所有的ai都转移到了，当所有的数在排列中都出现时，累加答案即可.

　　　挺好的一道题.没想到状态的正确表示是因为我觉得复杂度太高了，数组也开不下. 有时候想dp题是不能一步到位的.先想一个常规的表示方法，再来优化它是一种很好的分析方法.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
int n,m,a[20],id[20];
ll f[14348907],jie[20],ans,zhuangtai[20];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        id[a[i]] = i;
    }
    f[0] = 1;
    jie[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 15; i++)
        jie[i] = jie[i - 1] * 3;
    for (int sta = 0;sta < jie[n];sta++)
    {
        if(!f[sta])
            continue;
        int t = sta;
        int num = 0,cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            zhuangtai[i] = t % 3;
            t /= 3;
            if (zhuangtai[i])
                num++;
            if (zhuangtai[i] == 1)
                cnt++;
        }
        if (num == n)
        {
            ans += f[sta];
            continue;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (zhuangtai[i])
                continue;
            if (id[i] > 1 && !zhuangtai[a[id[i] - 1]])
                continue;
            int tot = 0;
            for (int j = 1; j < i; j++)
            {
                if (!zhuangtai[j])
                    continue;
                if (zhuangtai[j] == 1)
                    tot++;
            }
            if (tot == cnt)
            {
                if (tot == m)
                    continue;
                int nsta = sta + jie[i - 1];
                f[nsta] += f[sta];
                continue;
            }
            int nsta = sta + jie[i - 1];
            for (int j = i + 1; j <= n; j++)
            {
                if (zhuangtai[j] == 1)
                {
                    nsta += jie[j - 1];
                    break;
                }
            }
            f[nsta] += f[sta];
        }
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}