bzoj4199 [Noi2015]品酒大会
4199: [Noi2015]品酒大会
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Description
一年一度的“幻影阁夏日品酒大会”隆重开幕了。大会包含品尝和趣味挑战两个环节，分别向优胜者颁发“首席品
酒家”和“首席猎手”两个奖项，吸引了众多品酒师参加。在大会的晚餐上，调酒师Rainbow调制了 n 杯鸡尾酒。
这 n 杯鸡尾酒排成一行，其中第 i 杯酒 (1≤i≤n) 被贴上了一个标签 s_i ，每个标签都是 26 个小写英文字母
之一。设 Str(l,r) 表示第 l 杯酒到第 r 杯酒的 r-l+1 个标签顺次连接构成的字符串。若 Str(p,po)=Str(q,qo
) ，其中 1≤p≤po≤n,1≤q≤qo≤n,p≠q,po-p+1=qo-q+1=r ，则称第 p 杯酒与第 q 杯酒是“ r 相似”的。当
然两杯“ r 相似”(r>1)的酒同时也是“ 1 相似”、“ 2 相似”、……、“ (r-1) 相似”的。在品尝环节上，
品酒师Freda轻松地评定了每一杯酒的美味度，凭借其专业的水准和经验成功夺取了“首席品酒家”的称号，其中
第 i 杯酒 (1≤i≤n) 的美味度为 a_i 。现在Rainbow公布了挑战环节的问题：本次大会调制的鸡尾酒有一个特点
，如果把第 p 杯酒与第 q 杯酒调兑在一起，将得到一杯美味度为 a_p a_q 的酒。现在请各位品酒师分别对于 r=
0,1,2,?,n-1 ，统计出有多少种方法可以选出 2 杯“ r 相似”的酒，并回答选择 2 杯“ r 相似”的酒调兑可以
得到的美味度的最大值。
Input
输入文件的第1行包含1个正整数 n ，表示鸡尾酒的杯数。
第 2 行包含一个长度为 n 的字符串 S ，其中第 i 个字符表示第 i 杯酒的标签。
第 3 行包含 n 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，其中第 i 个整数表示第 i 杯酒的美味度 a_i 。
n=300,000 |a_i |≤1,000,000,000
Output
输出文件包括 n 行。第 i 行输出 2 个整数，中间用单个空格隔开。
第 1 个整数表示选出两杯“ (i-1)" " 相似”的酒的方案数，
第 2 个整数表示选出两杯“ (i-1) 相似”的酒调兑可以得到的最大美味度。
若不存在两杯“ (i-1) 相似”的酒，这两个数均为 0 。
Sample Input
10
ponoiiipoi
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7
ponoiiipoi
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7
Sample Output
45 56
10 56
3 32
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
【样例说明1】
用二元组 (p,q) 表示第 p 杯酒与第 q 杯酒。
0 相似：所有 45 对二元组都是 0 相似的，美味度最大的是 8×7=56 。
1 相似： (1,8) (2,4) (2,9) (4,9) (5,6) (5,7) (5,10) (6,7) (6,10) (7,10) ，最大的 8×7=56 。
2 相似： (1,8) (4,9) (5,6) ，最大的 4×8=32 。
没有 3,4,5,?,9 相似的两杯酒，故均输出 0 。
10 56
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0 0
0 0
0 0
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【样例说明1】
用二元组 (p,q) 表示第 p 杯酒与第 q 杯酒。
0 相似：所有 45 对二元组都是 0 相似的，美味度最大的是 8×7=56 。
1 相似： (1,8) (2,4) (2,9) (4,9) (5,6) (5,7) (5,10) (6,7) (6,10) (7,10) ，最大的 8×7=56 。
2 相似： (1,8) (4,9) (5,6) ，最大的 4×8=32 。
没有 3,4,5,?,9 相似的两杯酒，故均输出 0 。
分析：这道题有两个非常神奇的做法.
解法一：单调栈+后缀数组
显然这道题可以用后缀数组来做.第一问的答案就是任意两个串的LCP的和. 这一问题可以用非常经典的方法：单调栈来解决.
因为每一对后缀x,y的LCP是它们之间height数组的RMQ. 取决于它们中最小的height数组的值. 直接枚举两个端点，再来求最小的值是行不通的. 一个比较好的做法是维护每个height数组的值能够“管”哪些范围，也就是存在多少对后缀(x,y)使得x,y之间height数组的最小值是它. 可以先正着用单调栈维护一次，然后反着维护一次，分别得到左边和右边能维护到的范围. 乘起来，答案就出来了.
对于第二问，每个height数组的元素能够“管”的范围是确定的，在左边找最小值/最大值，右边找最小值/最大值，乘起来比较大小更新答案即可.
这个方法特别容易错，如果height数组中有两个元素相等，并且在一起，那么就会重复统计这一对后缀. 需要做的就是从左往右维护单调栈使用<比较符号，从右往左使用<=比较符号，不容易想到. 不是很推荐这种做法.
解法二：后缀数组+并查集
这个方法利用的还是LCP是height数组的RMQ这个性质.如果把height数组按照从大到小排序，然后从大到小来处理，那么RMQ是已经被确定了的：就是当前的height[i],这时只要统计有多少对后缀的RMQ是它，并且维护最小值/最大值就行了.
这其实是可以用并查集来维护的. 一开始每个height[i]对应着一个后缀sa[i]. 从大到小枚举height[i].将sa[i]与sa[i-1]合并. 因为是从大到小枚举的，所以当前的height[i]一定是sa[i]与sa[i-1]所属集合任意一对后缀之间的RMQ. 对于第一小问，直接加上这两个集合大小的乘积即可. 第二小问也挺简单的，分别维护每个集合的最小值/最大值，乘起来比较大小更新答案即可.
注意：读入之前要先求出sa,rk,ht数组，每次读入的是a[rk[i]]！
解法一代码：
#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn = 300010,inf = 9223372036854775807; ll n,a[maxn],b[maxn],fir[maxn],sec[maxn],pos[maxn],tong[maxn],sa[maxn],rk[maxn],ht[maxn],sett[maxn]; ll cnt,minn[maxn][21],maxx[maxn][21],sta[maxn],top,Max[maxn],Min[maxn],L[maxn],sum[maxn],ans[maxn],R[maxn]; char s[maxn]; void SA_pre() { int len = n; copy(s + 1,s + len + 1,sett + 1); sort(sett + 1,sett + 1 + len); cnt = unique(sett + 1,sett + 1 + len) - sett - 1; for (int i = 1; i <= len; i++) b[i] = lower_bound(sett + 1,sett + 1 + cnt,s[i]) - sett; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[b[i]]++; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[i] += tong[i - 1]; for (int i = 1; i <= len; i++) rk[i] = tong[b[i] - 1] + 1; for (int t = 1; t <= len; t *= 2) { for (int i = 1; i <= len; i++) fir[i] = rk[i]; for (int i = 1; i <= len; i++) { if (i + t > len) sec[i] = 0; else sec[i] = rk[i + t]; } fill(tong,tong + 1 + len,0); for (int i = 1; i <= len; i++) tong[sec[i]]++; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[i] += tong[i - 1]; for (int i = 1; i <= len; i++) pos[len - --tong[sec[i]]] = i; fill(tong,tong + 1 + len,0); for (int i = 1; i <= len; i++) tong[fir[i]]++; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[i] += tong[i - 1]; for (int i = 1; i <= len; i++) { int temp = pos[i]; sa[tong[fir[temp]]--] = temp; } bool flag = true; int last = 0; for (int i = 1; i <= len; i++) { int temp = sa[i]; if (!last) rk[temp] = 1; else if (fir[temp] == fir[last] && sec[temp] == sec[last]) { rk[temp] = rk[last]; flag = false; } else rk[temp] = rk[last] + 1; last = temp; } if (flag) break; } int k = 0; for (int i = 1; i <= len; i++) { if (rk[i] == 1) k = 0; else { if (k) k--; int j = sa[rk[i] - 1]; while (i + k <= len && j + k <= len && b[i + k] == b[j + k]) k++; } ht[rk[i]] = k; } } void ST_pre() { for (ll i = 1; i <= n; i++) maxx[i][0] = minn[i][0] = a[i]; for (ll j = 1; j <= 20; j++) for (ll i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) { maxx[i][j] = max(maxx[i][j - 1],maxx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); minn[i][j] = min(minn[i][j - 1],minn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); } } ll getmin(ll l,ll r) { ll t = (ll)((log(r - l + 1)) / log(2.0)); return min(minn[l][t],minn[r - (1 << t) + 1][t]); } ll getmax(ll l,ll r) { ll t = (ll)((log(r - l + 1)) / log(2.0)); return max(maxx[l][t],maxx[r - (1 << t) + 1][t]); } void solve() { for (int i = 0; i <= n; i++) ans[i] = -inf; top = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { while (top && ht[sta[top]] > ht[i]) top--; if (top) L[i] = sta[top] + 1; else L[i] = 1; sta[++top] = i; } top = 0; for (int i = n; i >= 1; i--) { while (top && ht[sta[top]] >= ht[i]) top--; if (top) R[i] = sta[top] - 1; else R[i] = n; sta[++top] = i; } for (int i = 2; i <= n; i++) { sum[ht[i]] += (i - L[i] + 1) * (R[i] - i + 1); ll lmax = getmax(L[i] - 1,i - 1),lmin = getmin(L[i] - 1,i - 1); ll rmax = getmax(i,R[i]),rmin = getmin(i,R[i]); ans[ht[i]] = max(ans[ht[i]],max(lmax * rmax,lmin * rmin)); } } int main() { scanf("%lld",&n); scanf("%s",s + 1); SA_pre(); for (ll i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld",&a[rk[i]]); ST_pre(); solve(); for (ll i = n - 1; i >= 0; i--) { sum[i] += sum[i + 1]; ans[i] = max(ans[i + 1],ans[i]); } for (ll i = 0; i <= n - 1; i++) if (ans[i] == -inf) ans[i] = 0; for (ll i = 0; i <= n - 1; i++) printf("%lld %lld\n",sum[i],ans[i]); return 0;
解法二代码：
#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn = 300010,inf = 9223372036854775807; ll n,a[maxn],b[maxn],fir[maxn],sec[maxn],pos[maxn],tong[maxn],sa[maxn],rk[maxn],ht[maxn],sett[maxn],mx[maxn],mn[maxn]; ll cnt,minn[maxn][21],maxx[maxn][21],sta[maxn],top,Max[maxn],Min[maxn],L[maxn],sum[maxn],ans[maxn],R[maxn]; ll fa[maxn],sizee[maxn]; char s[maxn]; struct node { ll h,x; }e[maxn]; ll find(int x) { if (x == fa[x]) return x; return fa[x] = find(fa[x]); } void SA_pre() { int len = n; copy(s + 1,s + len + 1,sett + 1); sort(sett + 1,sett + 1 + len); cnt = unique(sett + 1,sett + 1 + len) - sett - 1; for (int i = 1; i <= len; i++) b[i] = lower_bound(sett + 1,sett + 1 + cnt,s[i]) - sett; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[b[i]]++; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[i] += tong[i - 1]; for (int i = 1; i <= len; i++) rk[i] = tong[b[i] - 1] + 1; for (int t = 1; t <= len; t *= 2) { for (int i = 1; i <= len; i++) fir[i] = rk[i]; for (int i = 1; i <= len; i++) { if (i + t > len) sec[i] = 0; else sec[i] = rk[i + t]; } fill(tong,tong + 1 + len,0); for (int i = 1; i <= len; i++) tong[sec[i]]++; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[i] += tong[i - 1]; for (int i = 1; i <= len; i++) pos[len - --tong[sec[i]]] = i; fill(tong,tong + 1 + len,0); for (int i = 1; i <= len; i++) tong[fir[i]]++; for (int i = 1; i <= len; i++) tong[i] += tong[i - 1]; for (int i = 1; i <= len; i++) { int temp = pos[i]; sa[tong[fir[temp]]--] = temp; } bool flag = true; int last = 0; for (int i = 1; i <= len; i++) { int temp = sa[i]; if (!last) rk[temp] = 1; else if (fir[temp] == fir[last] && sec[temp] == sec[last]) { rk[temp] = rk[last]; flag = false; } else rk[temp] = rk[last] + 1; last = temp; } if (flag) break; } int k = 0; for (int i = 1; i <= len; i++) { if (rk[i] == 1) k = 0; else { if (k) k--; int j = sa[rk[i] - 1]; while (i + k <= len && j + k <= len && b[i + k] == b[j + k]) k++; } ht[rk[i]] = k; } } bool cmp(node a,node b) { if (a.h == b.h) return a.x > b.x; return a.h > b.h; } int main() { scanf("%lld",&n); scanf("%s",s + 1); SA_pre(); for (ll i = 1; i <= n; i++) { scanf("%lld",&a[rk[i]]); ans[i] = -inf; } for (ll i = 1; i <= n; i++) { mx[i] = mn[i] = a[i]; fa[i] = i; sizee[i] = 1; e[i].h = ht[i]; e[i].x = i; } sort(e + 1,e + 1 + n,cmp); for (int i = 1; i <= n; i++) { int x = find(e[i].x),y = find(e[i].x - 1); sum[e[i].h] += sizee[x] * sizee[y]; fa[y] = x; sizee[x] += sizee[y]; ans[e[i].h] = max(ans[e[i].h],max(mn[x] * mn[y],mx[x] * mx[y])); mn[x] = min(mn[x],mn[y]); mx[x] = max(mx[x],mx[y]); } for (ll i = n - 1; i >= 0; i--) { sum[i] += sum[i + 1]; ans[i] = max(ans[i + 1],ans[i]); } for (ll i = 0; i <= n - 1; i++) if (ans[i] == -inf) ans[i] = 0; for (ll i = 0; i <= n - 1; i++) printf("%lld %lld\n",sum[i],ans[i]); return 0; }
