bzoj2111 [ZJOI2010]Perm 排列计数

2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数

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Description

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

Input

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

Output

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, n的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

Sample Input

20 23

Sample Output

16

HINT

100%的数据中，1 ≤ N ≤ 10^6, P ≤ 10^9，p是一个质数。 数据有所加强.

分析：有一堆限制，比如p3 < p6,p3 < p7.可以发现每个数最多都会有两个限制，即pi < p(i*2) ,pi < p(i*2+1).这两种限制条件给人的感觉就像是一棵二叉树，根节点必须必子节点小,问有多少种二叉树的组成方式.

          那么先建树，设f[i]表示以i为根节点的子树的方案数，size[i]表示i的子树大小，那么就是一个非常经典的树形dp了.f[i] = f[i*2] * f[i * 2 + 1] * C(size[i] - 1,size[i * 2]).大概的意思就是i的子节点有i-1个数可以选，答案就是左子树的方案数*右子树的方案数*左子树选k个的方案数.

          需要注意的是这道题p不是已经给定的，p有可能比n大，如果直接预处理出阶乘和逆元的阶乘，当n >= p时，阶乘就为0，不能直接算，需要把n变成p以下，那么就要用到lucas定理.

          教训：n > p且p为质数时，不可直接算组合数，要用到lucas定理.

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, p, jie[1000010], ni[1000010], nijie[1000010], f[1000010], sizee[1000010];

void init()
{
    jie[1] = 1;
    jie[0] = 0;
    ni[1] = 1;
    nijie[1] = nijie[0] = 1;
    for (int i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        jie[i] = (jie[i - 1] * i) % p;
        ni[i] = (p - p / i) * ni[p % i] % p;
        nijie[i] = (nijie[i - 1] * ni[i]) % p;
    }
}

ll solve(ll a, ll b)
{
    if (a < b)
        return 0;
    if (a < p && b < p)
        return jie[a] * nijie[b] % p * nijie[a - b] % p;
    return solve(a / p, b / p) * solve(a % p, b % p) % p;
}

void dfs(ll u)
{
    sizee[u] = 1;
    if (u * 2 > n)
    {
        f[u] = 1;
        return;
    }
    ll temp1 = 1, temp2 = 1;
    if (u * 2 <= n)
    {
        dfs(u * 2);
        sizee[u] += sizee[u * 2];
        temp1 = f[u * 2];
    }
    if (u * 2 + 1 <= n)
    {
        dfs(u * 2 + 1);
        sizee[u] += sizee[u * 2 + 1];
        temp2 = f[u * 2 + 1];
    }
    f[u] = temp1 * temp2 % p * solve(sizee[u] - 1, sizee[u * 2]) % p;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &p);
    init();
    dfs(1);
    printf("%lld\n", f[1] % p);
return 0;
}