bzoj1026 [SCOI2009]windy数

1026: [SCOI2009]windy数

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Description

　　windy定义了一种windy数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。 windy想知道，
在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

Input

　　包含两个整数，A B。

Output

　　一个整数

Sample Input

【输入样例一】
1 10
【输入样例二】
25 50

Sample Output

【输出样例一】
9
【输出样例二】
20

HINT

 

【数据规模和约定】

100%的数据，满足 1 <= A <= B <= 2000000000 。

分析：第一次做数位dp的题，对于我来说还是有一定的难度.

      首先说一下题目的意思，windy数就是例如135,13这种数的相邻组成数字之差大于2的数.数据给的A,B非常大，因此不可能将每一位的数字表示在状态中，这样就必须取一些有特点的量作为状态.那么设f[i][j]为前i位中最高位是j的windy数的个数.很显然，f[i][j] = sum(f[i-1][k]) |k - j| >= 2.

      题目让我们求一个区间的windy数的个数，想到前缀和，用0至r的windy数的个数减 0至l-1windy数的个数。那么问题就是怎么求0至l区间的windy数的个数呢？我们定义的状态是一种宏观上的状态，直接累加可能会造成累加超出区间的数，因此需要分类讨论.

      假设我们需要求0至x（用数组表示）的区间的windy数的个数，x有t位，我们先求出t-1位的windy数的个数，因为这些windy数绝对比x小，不会超过这个区间，然后求出长度为t,最高位小于x[0]的windy数的个数，同样不会超过这个区间.最后统计长度为t，最高位为x[0]的windy数的个数，怎么统计呢？枚举i从0到x[1]-1,加上长度为t-1的最高位为i的数，不会超过这个区间，然后同样的，再求最高位为x[1]的windy数的个数，类似于递归过程.如果abs(x[0] - x[1]) < 2,则最高位为x[0],次高位为x[1]的windy数再不存在了，直接退出，到最后一位时，如果还存在windy数，windy数的个数+1即可.

     上面说的有点抽象，看代码可能更便于理解：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

long long t, a, b;

long long f[15][11],shu[15];

void init()
{
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= 10; i++)
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                if (abs(j - k) >= 2)
                    f[i][j] += f[i - 1][k];
}

long long solve(long long x)
{
    memset(shu, 0, sizeof(shu));
    if (x == 0)
        return 0;
    long long k = 0,ans = 0;
    while (x)
    {
        shu[++k] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    for (int i = 1; i <= k - 1; i++)
        for (int j = 1; j <= 9; j++)
            ans += f[i][j];
    for (int i = 1; i < shu[k]; i++)
        ans += f[k][i];
    for (int i = k - 1; i >= 1; i--)
    {
        for (int j = 0; j <= shu[i] - 1; j++)
            if (abs(j - shu[i + 1]) >= 2)
                ans += f[i][j];
        if (abs(shu[i + 1] - shu[i]) < 2)
            break;
        if (i == 1)
            ans += 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    init();
    printf("%lld", solve(b) - solve(a - 1));

    //while (1);
    return 0;
}

 其实对于本题而言,记忆化搜索也可以做，而且相对于递推而言更为简单.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int a, b,num[20],dp[20][12];

int dfs(int len, int last, bool shangxian)
{
    int p;
    if (len <= 0)
        return 1;
    if (!shangxian && dp[len][last] != -1&& last >= 0)
        return dp[len][last];
    int cnt = 0, maxx = (shangxian ? num[len] : 9);
    for (int i = 0; i <= maxx; i++)
    {
        if (abs(i - last) < 2)
            continue;
        p = i;
        if (i == 0 && last == -10)
            p = last;
        cnt += dfs(len - 1, p, shangxian && (i == maxx));
    }
    //return cnt;
    if (last >= 0 && !shangxian)
        dp[len][last] = cnt;
    return cnt;
}

int solve(int x)
{
    int k = 0;
    while (x)
    {
        num[++k] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    memset(dp, 255, sizeof(dp));
    return dfs(k, -10, true);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("%d\n", solve(b) - solve(a - 1));

    return 0;
}