题目描述

随着牛的数量增加，农场的道路的拥挤现象十分严重，特别是在每天晚上的挤奶时间。为了解决这个问题，FJ决定研究这个问题，以能找到导致拥堵现象的瓶颈所在。

牧场共有M条单向道路，每条道路连接着两个不同的交叉路口，为了方便研究，FJ将这些交叉路口编号为1..N,而牛圈位于交叉路口N。任意一条单向道路的方向一定是是从编号低的路口到编号高的路口，因此农场中不会有环型路径。同时，可能存在某两个交叉路口不止一条单向道路径连接的情况。

在挤奶时间到来的时候，奶牛们开始从各自的放牧地点回到牛圈。放牧地点是指那些没有道路连接进来的路口（入度为0的顶点）。

现在请你帮助fj通过计算从放牧点到达牛圈的路径数目来找到最繁忙的道路（答案保证是不超过32位整数）。

输入输出格式

输入格式：

第一行: N 和 M.

第2到M+1行: 两个相连的点

输出格式：

第一行：最繁忙的一条道路被经过的次数数量

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2883

个人思路：

  • 从题意中，我们可以观察到，如果将每一个路口抽象为一个点，那么该图为DAG.
  • 由于要处理的最繁忙的道路的被经过的数量与边有关，我们可以考虑到拓扑排序。
  • 通过在DAG上的总结，再结合我们在小学学过的乘法原理，我们可以考虑到一个规律：在一条边M（u->v）上，通过M的方法数量为从源点到达u的方式数量*从终点到达v的方式数量
  • 之后，进行两次拓扑排序即可。（一次正向，一次反向.）
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
int n,cnt=0,ans=0,head[5005],rd[5005],dp[5005];
struct Edge{
    int v,w,nxt;
}e[50005],e2[50005];
void addEdge(int u,int v,int w){
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void topoSort(){
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rd[i]==0){
            q.push(i);
            dp[i]=1;
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int nowValue=q.front();q.pop();
        for(int i=head[nowValue];i;i=e[i].nxt){
            rd[e[i].v]--;
            dp[e[i].v]+=dp[nowValue];
            //cout<<"dp["<<e[i].v<<"]+=dp["<<nowValue<<"]"<<endl;
            ans=max(ans,dp[e[i].v]);
            if(rd[e[i].v]==0){
                q.push(e[i].v);
            }
        }
    }
} 
int cnt2=0,ans2=0,head2[5005],rd2[5005],dp2[5005];
void addEdge2(int u,int v,int w){
    e2[++cnt2].v=v;
    e2[cnt2].w=w;
    e2[cnt2].nxt=head2[u];
    head2[u]=cnt2;
}
void topoSort2(){
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rd2[i]==0){
            q.push(i);
            dp2[i]=1;
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int nowValue=q.front();q.pop();
        for(int i=head2[nowValue];i;i=e2[i].nxt){
            rd2[e2[i].v]--;
            dp2[e2[i].v]+=dp2[nowValue];
            //cout<<"dp2["<<e2[i].v<<"]+=dp2["<<nowValue<<"]"<<endl;
            ans2=max(ans2,dp2[e2[i].v]);
            if(rd2[e2[i].v]==0){
                q.push(e2[i].v);
            }
        }
    }
}
int trueAns=0;
void work(){
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rd[i]==0){
            q.push(i);
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int nowValue=q.front();q.pop();
        for(int i=head[nowValue];i;i=e[i].nxt){
            rd[e[i].v]--;
            trueAns=max(trueAns,dp[nowValue]*dp2[e[i].v]);
            if(rd[e[i].v]==0){
                q.push(e[i].v);
            }
        }
    }
}
int main(){
    //freopen("in.in","r",stdin);
    int m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int ta,tb;
        scanf("%d%d",&ta,&tb);
        addEdge(ta,tb,1);
        addEdge2(tb,ta,1);
        rd[tb]++;
        rd2[ta]++;
    }
    topoSort();
    topoSort2();
    work();
    printf("%d\n",trueAns);
    //printf("%d\n",ans2);
    return 0;
}