一、定义
- 对于每个点i,都可能有另外一些点的x、y坐标均小于等于点i的x、y坐标,这些点的数量即为点i的二维偏序值.
- 在图1中,点A的二维偏序值为1,B的二维偏序值为2,点C的二维偏序值为0.
- 在图2中,点A与点B的二维偏序值均为0.
二、具体过程
- 为什么要按照第一维排序:对于每个点,显然只有它前面的点(x坐标小于等于该点)的数量有可能(换句话说,x坐标大于该点的那些点是绝对不可能被计入该点的二维偏序值的)被计入该点的二维偏序值.
- 当然了,仅仅按照第一维排序是不能解决这一问题的,因为不能保证每个点前面的点的y坐标都小于等于这个点。换句话说,假设点i前面的某个点的y坐标大于点i的y坐标,那就不应当计入点i的二维偏序值.
- 例如图3,该图中点A、B、C的二维偏序值均为0.
- 为什么要使用树状数组:在二维偏序中,通过对每个点关于x坐标排序,我们得到了一个x轴坐标单调递增的点的序列。接下来要解决的问题,是怎么关于点i获取y坐标小于点i的点的数量。由于只有x坐标小于等于点i的点集需要被考虑(原因前面已经提到过,即只有x坐标小于等于点i的x坐标的点集有可能被计入点i的二维偏序值),
- 我们可以从开头到末尾遍历已关于x轴排序每个点,每遍历到一个点,就将这个点的y坐标添加到树状数组中。这样,对于点i,只需要在树状数组中查询y坐标小于等于点i的y坐标的点的数量,即可获取该点的二维偏序值。在具体理解中,我们可以理解为树状数组在其中起到的作用类似一个垂直于y轴的"挡板"(如图4)。换句话说,这里使用的树状数组实际上是关于各个点的y坐标值的,这一点类似值域线段树.
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类似地,关于x轴的排序也可以理解为垂直于x轴的"挡板"(图5)(只画出了一部分以便于理解)
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由此可知,该二维偏序算法的正确性是由按照时间顺序(实际是x坐标的升序)不断向树状数组加点(实际只加了y坐标)保证的
#include<cstdio> #include<iostream> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=1000010; int maxValue,tr[MAXN]; int lowbit(int x){ return x&-x; } void add(int x,int k){ for(int i=x;i<=maxValue;i+=lowbit(i)){ tr[i]+=k; } } int sum(int l,int r){ int ans=0; for(int i=r;i>0;i-=lowbit(i)){ ans+=tr[i]; } for(int i=l-1;i>0;i-=lowbit(i)){ ans-=tr[i]; } return ans; } struct Point{ int a,b; bool operator <(const Point &another)const{ return another.a<a; } }; int pointCnt=0; int main(){ int n; scanf("%d%d",&n,&maxValue); priority_queue<Point> q; for(int i=1;i<=n;i++){ int tmpA,tmpB; scanf("%d%d",&tmpA,&tmpB); Point tmp=Point{tmpA,tmpB}; q.push(tmp); } while(!q.empty()){ Point nowPoint=q.top();q.pop(); int nowValue=nowPoint.b; cout<<sum(1,nowValue)<<endl; add(nowValue,1); } return 0; }