POJ3590 The shuffle Problem [置换+dp]

$The\ shuffle\ Problem$

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$\mathcal{Description}$

给出正整数$N$, $N<=100$, 输出长度为 $N$ 的置换的 最长周期, 并请输出满足条件的 字典序最小 的置换 .

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$\mathcal{Solution}$

$最初想法$
整个序列的循环节周期长度为所有 子循环节 周期长度 的最小公倍数 .

思维卡点: 每个子循环节的周期长度怎么求呢 ?

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$正解部分$
原来每个子循环节的周期长度是确定的 :

• 作为子循环节不能被划分成其他更小的子循环节
• 经过观察, 每个不可划分的子循环节周期长度都等于其本身长度,

所以得出结论: $\color{red}{子循环节的周期长度\ 等于\ 本身长度}$,

到此, 问题就转化为: 将数$N$划分为若干份, 使 $LCM$ 尽量大.

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设 $F[i,j]$ 表示 将 $i$ 分为 $j$ 份所得到的最大 $LCM$,
则 $F[i,j]=max\{\ lcm(F[i-k,j-1],\ \ k),\ F[i,j]\ \}$
转移复杂度 $O(N^3)$ .

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$如何输出字典序最小的方案?$

首先最优值 $Ans$ 已经被前面的 $Dp$ 解决,
这个 $Ans$ 为所有区间长度的 $LCM$,
则将其 $\color{red}{分解质因数}$, 得到 $p_1^{a_1}, p_2^{a_2},p_3^{a_3}...p_m^{a_m}$,
每个带幂质数都代表着一个区间, 长度分别为 $p_1^{a_1}, p_2^{a_2},p_3^{a_3}...p_m^{a_m}$,.

可能还会剩余一些 $1$, 虽说对 $LCM$ 没有贡献, 但还是要输出的, 输出 $N-p_1^{a_1}-p_2^{a_2}-p_3^{a_3}...-p_m^{a_m}$ 个 $1$ 在前面 $\color{red}{保证字典序最小}$
尽量将小的放到前面, 可以 $\color{red}{保证字典序最小}$, 拿纸画一下就出来了.

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$\mathcal{Code}$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define reg register

const int maxn = 108;

int T;
int N;
int cnt[maxn];
int F[maxn][maxn];
int Pre[maxn][maxn];
int p[] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107};

int Gcd(int a, int b){ return !b?a:Gcd(b, a%b); }
int Lcm(int a, int b){ return a/Gcd(a, b) * b; }

void Work(){
        scanf("%d", &N);
        printf("%d ", F[N][0]);
        int tmp = F[N][0], Ps = 0;
        for(reg int i = 1; i <= 26; i ++){
                cnt[i] = 1;
                while(tmp % p[i] == 0) cnt[i] *= p[i], tmp /= p[i];
                if(cnt[i] == 1) cnt[i] = 0;
                Ps += cnt[i];
        }
        int t = N - Ps;
        for(reg int i = 1; i <= t; i ++) printf("%d ", i);
        t ++;
        std::sort(cnt+1, cnt+26+1);
        for(reg int i = 1; i <= 26; i ++){
                if(!cnt[i]) continue ;
                int tmp = t;
                for(reg int j = 1; j < cnt[i]; j ++) printf("%d ", t+j);
                printf("%d ", tmp);
                t += cnt[i];
        }
        printf("\n");
}

int main(){ 
        for(reg int i = 1; i <= 105; i ++){
                F[i][1] = i;
                for(reg int j = 2; j <= i; j ++)
                        for(reg int k = 1; k <= i; k ++)
                                F[i][j] = std::max(Lcm(F[i-k][j-1], k), F[i][j]);
        }
        for(reg int i = 1; i <= 105; i ++) 
                for(reg int j = 1; j <= i; j ++) F[i][0] = std::max(F[i][0], F[i][j]);
        scanf("%d", &T);
        while(T --) Work();
        return 0;
}