P2158 [SDOI2008]仪仗队 [欧拉函数线性筛]

$仪仗队$

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$\mathcal{Description}$
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$正解部分$
对于一个点 $x, y$, 必须满足 $gcd(x,y)=1$, 即 $x$ 与 $y$ 互质, 才不被遮蔽,

若不互质, 则其斜率为 $\frac{y}{x}$, 可以约分得到另一个点坐标, 那个点将遮蔽这个点 .

所以题目就转化为: 求有多少点对$(x,y)$, 使得 $gcd(x,y)=1$, 即
$Ans = 3+2*\sum_{i=2}^{N-1}\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i,j)==1]\\ =3+2*\sum_{i=2}^{N-1}\varphi(i)$

(由于按上三角形和下三角形考虑的, 所以要乘 $2$)

可以使用 欧拉函数线性筛 求出所有 $phi$, 最后加起来即可, 时间复杂度 $O(N)$ .
至于 线性筛 请点击这里 .

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#include<cstdio>
#include<algorithm>

const int maxn = 40005;

int phi[maxn], prime[maxn], sign[maxn];
int num;

int main(){
    int N;
        scanf("%d", &N);
        if(N == 1){ printf("0"); return 0; }
        long long Ans = 0;
        for(int i = 2; i < N; i ++){
                if(!sign[i]) prime[++num] = i, phi[i] = i - 1;
                for(int j = 1; i*prime[j] <= N && j <= num; j ++){
                        sign[i*prime[j]] = 1;
                        if(i % prime[j]) phi[i*prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
                        else{
                                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                                break ;
                        }
                }
                Ans += (long long)phi[i]*2;
        }
        (Ans) += 3;
        printf("%lld", Ans);
    return 0;
}