P4318 完全平方数 [二分答案+容斥+莫比乌斯函数]

$完全平方数$

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$\mathcal{Description}$
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

有 $T$ 组数据, 每组数据的 $K<=10^9$, $T<=50$ .

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$最初想法$
一个 完全平方数 的倍数分解质因数后, 存在有幂数大于$1$的质因子 .
所以一个合法的数字必定是由若干个不同的质数相乘得来的.

思维断点: 怎么算出第 $K$ 个合法的数 ?

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$正解部分$
答案具有 单调性, 考虑 二分答案 ,
要解决的问题为: $[1,x]$ 内有多少个合法的数,

设在 $[1,x]$ 有 $Tmp$ 个合法的数,
则 $Tmp=x-(\frac{x}{2^2}+\frac{x}{3^2}+\cdots) + (\frac{x}{(2 * 3)^2}+\frac{x}{(3 * 5)^2}+\cdots)-\cdots$

设这个式子中的某一项分母为 $t^2$, 则 $t∈[1,\sqrt{x}]$, 且 $t$ 是由若干个不同的质数构成的.
根据 莫比乌斯函数 的性质, 没有学过的可以看 这里 ,

• 若 $\mu(t)=1$, $t$是由偶数个质数构成的, 该项为正 .
• 若 $\mu(t)=-1$, $t$是由奇数个质数构成的, 该项为负 .

于是 $Tmp=\sum_{i=1}^{\sqrt{x}}\mu(i)\lfloor \frac{x}{i^2}\rfloor$
问题得以解决.

时间复杂度 $O(\sqrt{x}logx)$, 其中 $x_{max}=10^{10}$

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$实现部分$
二分的上界为 $K*10$ (能开多大开多大…) .
但是记得开 $long\ long$

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define reg register
typedef long long ll;

const int maxn = 1e6 + 100;

int p_cnt;
int p[maxn];
int mu[maxn];

bool is_p[maxn];

void sieve(){
        p_cnt = 0, mu[1] = 1;
        for(reg int i = 2; i < maxn; i ++){
                if(!is_p[i]) p[++ p_cnt] = i, mu[i] = -1;
                for(reg int j = 1; j <= p_cnt && p[j]*i < maxn; j ++){
                        int t = p[j] * i;
                        is_p[t] = 1;
                        if(i % p[j] == 0){ mu[t] = 0; break ; }
                        mu[t] = -mu[i];
                }
        }
}

ll Calc(ll mid){
        ll lim = sqrt(mid);
        ll s = 0;
        for(reg ll i = 1; i <= lim; i ++) s += mu[i] * (mid/i/i);
        return s;
}

void Work(){
        ll K;
        scanf("%lld", &K);
        ll l = 1, r = K*10;
        while(l < r){
                ll mid = l+r >> 1;
                if(Calc(mid) >= K) r = mid;
                else l = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n", r);
}

int main(){
//        freopen("a.in", "r", stdin);
//        freopen("a.out", "w", stdout);
        sieve();
        int T;
        scanf("%d", &T);
        while(T --) Work();
        return 0;
}