CF573E Bear and Bowling [平衡树+动态规划]

$Bear\ and\ Bowling$

题意与 这道题目 大致相同, 唯一不同的是所选序列可以在原序列中不连续, 即子序列 .

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$\color{blue}{最初想法}$

设 $F[i,j]$ 为第 $i$ 个数作为选出的 $j$ 个数中最后一个数时的最优值,
则 $F[i,1]=A[1],F[0,0]=0$
$F[i,j]=\max\limits_{k∈[1,i)}(F[k,j-1]+A[i]*j)$

时间复杂度 $O(N^3)$, 空间复杂度 $O(N^2)$, 无法 $AC$,

设 $F[i,j]$ 为前 $i$ 个数, 选出 $j$ 个数的最优值,
则 $F[0,0]=0$

$F[i,j]=\max\{F[i-1,j], F[i-1,j-1]+j*A[i]\}$

时间复杂度 $O(N^2)$, 开滚动数组 空间复杂度 $O(N)$, 仍无法 $AC$ .

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$\color{red}{正解部分}$

首先要知道一个结论:

对上面的第二个状态转移方程的每个 $F[i, j]$, 都存在 $1 \le K \le i$,

• $0 \le j < K$ 全部由 $F[i,j-1]$ 转移而来, 在滚动数组中相当于不动 .
• $K \le j \le i$ 全部由$F[i-1,j-1]+j*A[i]$ 转移而来 .

称 $K$ 为 分界点, 分界点左边称 左区间, 右边 为 右区间 .

至于证明… , 可以看一下 这位 的博客.

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• 二分找到 分界点,
  具体地说:
  若 $F[mid]<F[mid]+mid*A[i]$,
  说明 $mid$ 处于右区间, $K$ 在 $mid$ 左边, 于是 $r = mid - 1$,
  否则 $l = mid + 1$.

• 找到 分界点 后, 左区间不用管, 只需修改右区间
  列出几个转移 $↓$
  $F[K] = F[K-1]+K*A[i]\\ F[K+1]=F[K]+(K+1)*A[i]\\ F[K+2]=F[K+1]+(K+2)*A[i]$
  发现从 分界点 向右对 滚动数组 加个等差数列即可, 可以使用 线段树 或者 平衡树 实现, 这里用平衡树, 因为标程好拍

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$\color{red}{实现部分}$

$\color{red}{二分那里有点坑...}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 10;
const ll inf = 1e18;

int N;
int rot = 1;
int cnt = 1;
int fa[maxn];
int size[maxn];
int ch[maxn][2];

ll tag_d[maxn];
ll tag_a[maxn];
ll V[maxn];

bool chk(int x){ return ch[fa[x]][1] == x; }

void Push_up(int x){ size[x] = size[ch[x][0]] + size[ch[x][1]] + 1; }

void Modify(int x, ll a1, ll d){
        tag_d[x] += d, tag_a[x] += a1;
        V[x] += a1 + d*(size[ch[x][0]] + 1);
}

void Push_down(int x){
        if(tag_d[x] || tag_a[x]){
                if(ch[x][0]) Modify(ch[x][0], tag_a[x], tag_d[x]);
                if(ch[x][1]) Modify(ch[x][1], tag_a[x]+tag_d[x]*(size[ch[x][0]] + 1), tag_d[x]);
                tag_d[x] = tag_a[x] = 0;
        }
}

void rotate(int x){ //
        int y = fa[x], z = fa[y], d = chk(x), s = ch[x][d^1];
        ch[y][d] = s, fa[s] = y;
        ch[z][chk(y)] = x, fa[x] = z;
        ch[x][d^1] = y, fa[y] = x;
        Push_up(x), Push_up(y);
}

void Splay(int x, int aim = 0){ //
        std::stack <int> stk;
        stk.push(x);
        int tmp = x;
        while(fa[tmp]) stk.push(fa[tmp]), tmp = fa[tmp];
        while(!stk.empty()) Push_down(stk.top()), stk.pop();
        while(fa[x] != aim){
                int y = fa[x], z = fa[y];
                if(z != aim){
                        if(chk(x) == chk(y)) rotate(y);
                        else rotate(x);
                }
                rotate(x);
        }
        rot = x;
}

ll Kth(int x){
        int t = rot;
        while(1){
                if(ch[t][0] && size[ch[t][0]] >= x) t = ch[t][0];
                else if(size[ch[t][0]] + 1 < x) x -= size[ch[t][0]] + 1, t = ch[t][1]; 
                else{ Splay(t); return V[t]; }
        }
}

ll Q_max(int x){
        if(!x) return -inf;
        Push_down(x);
        return std::max(V[x], std::max(Q_max(ch[x][0]), Q_max(ch[x][1])));
}

int Query(int i, int x){ 
        int s = i - 1; 
        int l = 0, r = i - 2;
        while(l <= r){ 
                ll mid = l+r >> 1; 
                if(Kth(mid+1) + (mid+1ll)*x > Kth(mid+2)) r = mid - 1, s = mid; 
                else l = mid + 1; 
        }
        return s;
}

void Add_node(){
        V[++ cnt] = V[rot];
        fa[cnt] = rot, fa[ch[rot][1]] = cnt;
        ch[cnt][1] = ch[rot][1], ch[rot][1] = cnt;
}

int main(){ 
//        freopen("a.in", "r", stdin);
        scanf("%d", &N);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++){
                int x;
                scanf("%d", &x);
                int K = Query(i, x) + 1;
                Kth(K), Add_node();
                Modify(cnt, 1ll*(K-1)*x, x);
        }
        printf("%lld\n", Q_max(rot));
        return 0;
}