石子 [SG函数+倍增优化dp+高精+FWT]

$石子$

19 7 28

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$\color{blue}{最初想法}$

以下 $N$ 表示 必胜态, $P$ 表示 必败态,
先考虑一堆石子, 手玩后发现奇数恒为 $P$, 偶数恒为 $N$,

小证明: 奇数为 $2n+1$, 由于 $奇*奇=奇$, 所以去掉其中一个因子后一定为偶数, 而偶数一定是能够取的, 因为最终状态 $1$ 为奇数 .

然后把 $M$ 堆石子搞成奇数个偶数即可 .

错的 .

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$\color{red}{正解部分}$

经过打表发现 $SG(x) = \max\{i\ |\ 2^i$|$x\}$, 即一个数字的 $SG$ 值为这个数字的二进制表示中 $2^{末尾 0 的个数}-1$,
相当于 $SG(x)=lowbit(x)-1$ .

可以初步了解到 $SG(奇数) = 0$,

题目转化为: 求出 $M$ 个 $SG$值 异或起来等于 $0$ 的方案数,

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设 $sum[x]$ 表示 $SG$值 等于 $x$ 的石子数量 种类数, $x∈[1, logn]$,

$sum[0] = \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$
$sum[1] = \lfloor \frac{n-sum[0]+1}{2} \rfloor$
$sum[2] = \lfloor \frac{n-sum[1]+1}{2} \rfloor$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .$
$sum[n] = \lfloor \frac{n-sum[n-1]+1}{2} \rfloor$

当把一个数列的 二进制表示 全部去掉末尾只有 $1$个 $0$ 的数字后,
再将其余数字的二进制末尾减去 $1$ 个 $0$, 发现剩余的数字又会重新 连续 起来 .
依此得到上式 .

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设 $F[i, j]$ 表示前 $i$ 堆石子, $SG$ 异或起来等于 $j$ 的方案数,

$F[i, j] = F[i-1, j \bigoplus k] + sum[k]$

发现可以使用 倍增 的方式优化,

$F[i, j] = F[i-1, j \bigoplus k] * F[i-1, k]$

时间复杂度 $O(logM*log^2N)$,

得分 $50pts$ .

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当 $N$ 和 $M$ 是大数时, 需要先使用 高精度 预处理出所有 $sum[]$,
然后对于 $dp$ 的转移, 发现是异或卷积的形式, 可以用 $FWT$ 优化, 没学过的可以看 这里 .

时间复杂度 $O(能过)$ .

得分 $100pts$ .

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$\color{red}{实现部分}$

有时间再补 .
咕咕咕 .