三元组 [01Trie]

$三元组$

给 $n$ 个数的数组 $a$，问有多少个三元组$(x,y,z)$满足 $a[x]$ xor $a[y]\ <\ a[y]$ xor $a[z]$并且 $1 \le x<y<z \le n$ .

$T$组数据 .
$1 \le n \le 50000，1 \le T \le 5，1 \le a[i] \le 10^9$

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$\color{red}{正解部分}$

枚举 $y$, 考虑统计有多少对满足条件的 $(x, z)$ 点对,

按位考虑, 若两个数字的 二进制位 从高位 $t$ 到低位 $b$ 全部相同, 到了下一位不同时,
就可以确定这两个数字的大小了,

由此, 可以对区间 $[1, y), (y, N]$ 各建出一颗 $01\ Trie$ 树, 深度越深, 位数越低,
同 这题 一样同时从根节点往下走, 每次走向相同的节点,
记 $F[i, 0/1]$ 表示 从高到低 第 $i$ 位 (在Trie树中体现在深度为i), $a_y$ 为 $0/1$, 满足条件的 $(x, z)$ 数量,

在 $y$ 从左往右枚举的同时, 动态维护两颗 $Trie$树 即可 .

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$\color{red}{实现部分}$

• 每次修改时两个 $Trie$树需要同时往下走, 更新 $F[]$ 数组 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 50004;

int N;
int node_cnt;
int cur[2];
int A[maxn];
int cnt[maxn*31];
int ch[maxn*31][2];

ll Ans;
ll F[34][2];

void Modify(int x, int opt, int add){
        cur[0] = 1, cur[1] = 2;
        for(reg int i = 30; i >= 0; i --){
                bool t = x & (1 << i);
                if(!ch[cur[0]][t]) ch[cur[0]][t] = ++ node_cnt;
                if(!ch[cur[1]][t]) ch[cur[1]][t] = ++ node_cnt;
                F[i][0] -= 1ll*cnt[ch[cur[0]][0]]*cnt[ch[cur[1]][1]];
                F[i][1] -= 1ll*cnt[ch[cur[0]][1]]*cnt[ch[cur[1]][0]];
                cnt[ch[cur[opt]][t]] += add;
                F[i][0] += 1ll*cnt[ch[cur[0]][0]]*cnt[ch[cur[1]][1]];
                F[i][1] += 1ll*cnt[ch[cur[0]][1]]*cnt[ch[cur[1]][0]];
                cur[0] = ch[cur[0]][t], cur[1] = ch[cur[1]][t];
        }
}

void Work(){
        node_cnt = 2;
        N = read(); Ans = 0;
        memset(F, 0, sizeof F); memset(cnt, 0, sizeof cnt); memset(ch, 0, sizeof ch);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) A[i] = read(), Modify(A[i], 1, 1);
        Modify(A[1], 0, 1); Modify(A[1], 1, -1);
        for(reg int i = 2; i < N; i ++){
                Modify(A[i], 1, -1);
                for(reg int j = 30; j >= 0; j --) Ans += F[j][(A[i]>>j) & 1];
                Modify(A[i], 0, 1);
        }
        printf("%lld\n", Ans);
}

int main(){
        int T = read(); while(T --) Work();
        return 0;
}