最大公约数 [动态规划]

$最大公约数$

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$\color{red}{正解部分}$

最优情况中, $gcd$ 每次变化都是 质因数分解中的一个质因子次数减少 $1$, 所以 $f_{max}(n)$ 为 $[1, n]$ 中 质因数分解质数次幂的和 的 最大值 加上 $1$.

首先 $f_{max}(n)$ 分解质因数后一定是 $2^x3^y$ 的形式, 其中 $x \in \N, y \in \{0, 1\}$
假设存在 $t > 3$, 使得 $f_{max}(n)$ 分解质因数后为 $t2^x3^y$, 则 $t$ 可以替换为 $2^?$,答案不会更差, 因此 $f_{max}(n) = \lfloor \log_2n \rfloor + 1$ .

接下来计算 $f(p) = f_{max}(n)$ 的 $p$ 的个数, 考虑 从左往右 填数, 前面的数字一定是 $2^x3^y$ 的形式,
设 $F[i, x, y]$ 表示 填了前 $i$ 个数字, 前 $i$ 个数字的 $gcd$ 为 $2^x3^y$ 的方案数,

初值

• $F[1, \lfloor \log_2 N \rfloor, 0] = 1$
• $F[1, \lfloor \log_2 N \rfloor - 1, 1] = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2^{\lfloor \log_2 N \rfloor - 1}\times3 \le N)$

转移 时使得 $x$ 或 $y$ 至多其中一个减一,

• $x, y$ 不变: $F[i, x, y] \ += F[i-1, x, y] \times \left( \lfloor \frac{N}{2^x3^y} \rfloor -(i-1) \frac{}{}\right)$

• $x$ 减 $1$: $\ \ \ \ F[i, x, y]\ + = F[i-1, x+1,y] \times \left( \lfloor \frac{N}{2^x3^y} \rfloor - \lfloor \frac{N}{2^{x+1}3^y}\rfloor \right)$

• $y$ 减 $1$: $\ \ \ \ F[i, x, y]\ + = F[i-1, x, y+1]\times\left( \lfloor \frac{N}{2^x3^y} \rfloor - \lfloor \frac{N}{2^x3^{y+1}}\rfloor \right)$

最后答案即为 $F[N, 0, 0]$ .

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$\color{red}{实现部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 5;

int N;
int F[maxn][22][2];

int Ksm(int a, int b){ int s=1; while(b){ if(b&1)s=1ll*s*a%mod; a=1ll*a*a%mod;b>>=1; } return s; }

int main(){
        scanf("%d", &N); int t = log2(N);
        F[1][t][0] = 1; if(Ksm(2, t-1)*3 <= N) F[1][t-1][1] = 1; 
        for(reg int i = 2; i <= N; i ++)
                for(reg int x = 0; x <= t; x ++)
                        for(reg int y = 0; y <= 1; y ++){
                                int &cur = F[i][x][y], t1 = Ksm(2,x)*Ksm(3,y), t2 = Ksm(2,x+1)*Ksm(3,y), t3 = Ksm(2,x)*Ksm(3,y+1);
                                if(N/t1 > i-1) cur = (cur + 1ll*F[i-1][x][y]*(N/t1-i+1)%mod) % mod;
                                if(x != t) cur = (cur + 1ll*F[i-1][x+1][y]*(N/t1 - N/t2)%mod) % mod;
                                if(y != 1) cur = (cur + 1ll*F[i-1][x][y+1]*(N/t1 - N/t3)%mod) % mod;
                        }
        printf("%d\n", F[N][0][0]);
        return 0;
}