一道背包神题-Petrozavodsk Winter-2018. Carnegie Mellon U Contest Problem I

题目描述

有\(n\)个物品，每个物品有一个体积\(v_i\)，背包容量\(s\)。要求选一些物品恰好装满背包且物品个数最少，并在这样的方案中：

（1）求出中位数最小的方案的中位数（\(k\)个元素的中位数是从小到大第\(⌊k/2⌋\)个数）；

（2）求出众数最小的方案的众数；

（3）求出极差最小的方案的极差。

解题思路

令每个物品价值为1，求装满时的最小价值，这只需01背包即可，答案即为最小个数\(m\)。

对于众数，二分答案并删去多余物品即可。

对于中位数，二分答案，令每个物品价值为\(inf+t\)，其中体积大于二分的答案时\(t\)为1，否则为-1。同样求出装满时最小价值，若超过\(m\times inf\)则真正答案更大，否则更小。正确性是因为任意时刻，\(dp_i\)保存的值若要求最优，首先要保证取的个数是最少的（否则没有意义），在此条件下尽可能少取体积大的物品。而全局最优答案必然由局部最优答案转移（可反证）。

对于极差，考虑从小到大加入物品，每个物品价值\(inf\)，但是若该物品第一次加入背包则价值\(inf-v_i\)。每加完一个物品\(i\)更新完\(dp\)后，求\(dp_s+v_i\)。所有值取最小即可。

时间复杂度\(O(ns \log n)\)

一些感受

根据以上思路，除了极差部分可全部转化为普通01背包，大大减小了代码量（仅60行）。极差部分也非常好写，详见代码。

可惜比赛时没想出来！赛后过了若干天补题时想了一会就出来了（生气~）。最后，这道题质量真是太高啦！“题出的好！难度适中，覆盖知识点广，题目又着切合实际的背景，解法比较自然。给出题人点赞！”

AC代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXV 5001
#define INF 10001
int dp[MAXV];
int v[5001], c[5001];
int solve(int n, int s)
{
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        for (int j = s; j >= v[i]; j--)
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - v[i]] + c[i]);
    }
    return dp[s];
}
int solve2(int n, int s)
{
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[0] = 0;
    int ans = 0x3fffffff;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        for (int j = s; j > v[i]; j--)
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - v[i]] + INF);
        dp[v[i]] = min(dp[v[i]], INF - v[i]);
        ans = min(ans, dp[s] + v[i]);
    }
    return ans % INF;
}
int main()
{
    int n, s;
    scanf("%d%d", &n, &s);
    for (int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d", &v[i]);
        c[i] = 1;
    }
    sort(v, v + n);
    int num = solve(n, s), l, r;
    if (num > n){ printf("-1"); return 0; }
    printf("%.9lf ", (double)s / num);
    for (l = 0, r = n - 1; l != r;){
        int mid = (l + r) >> 1, w = v[mid];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            c[i] = INF + (v[i] > w ? 1 : -1);
        if (solve(n, s) > INF * num)l = mid + 1;
        else r = mid;
    }
    printf("%d ", v[l]);
    for (l = 1, r = n; l != r;){
        int mid = (l + r) >> 1;
        for (int i = 0, j; i < n; i++){
            j = !i || v[i] != v[i - 1] ? 1 : j + 1;
            c[i] = j <= mid ? 1 : INF;
        }
        if (solve(n, s) > num)l = mid + 1;
        else r = mid;
    }
    printf("%d ", l);
    printf("%d", solve2(n, s));
    return 0;
}