Python使用三种方法实现PCA算法
主成分分析（PCA） vs 多元判别式分析（MDA）
PCA和MDA都是线性变换的方法，二者关系密切。在PCA中，我们寻找数据集中最大化方差的成分，在MDA中，我们对类间最大散布的方向更感兴趣。
一句话，通过PCA，我们将整个数据集（不带类别标签）映射到一个子空间中，在MDA中，我们致力于找到一个能够最好区分各类的最佳子集。粗略来讲，PCA是通过寻找方差最大的轴（在一类中，因为PCA把整个数据集当做一类），在MDA中，我们还需要最大化类间散布。
在通常的模式识别问题中，MDA往往在PCA后面。
PCA的主要算法如下：
- 组织数据形式，以便于模型使用；
- 计算样本每个特征的平均值；
- 每个样本数据减去该特征的平均值（归一化处理）；
- 求协方差矩阵；
- 找到协方差矩阵的特征值和特征向量；
- 对特征值和特征向量重新排列（特征值从大到小排列）；
- 对特征值求取累计贡献率；
- 对累计贡献率按照某个特定比例，选取特征向量集的字迹合；
- 对原始数据（第三步后）。
其中协方差矩阵的分解可以通过按对称矩阵的特征向量来，也可以通过分解矩阵的SVD来实现，而在Scikit-learn中，也是采用SVD来实现PCA算法的。
本文将用三种方法来实现PCA算法，一种是原始算法，即上面所描述的算法过程，具体的计算方法和过程，可以参考：A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith. 一种是带SVD的原始算法，在Python的Numpy模块中已经实现了SVD算法，并且将特征值从大从小排列，省去了对特征值和特征向量重新排列这一步。最后一种方法是用Python的Scikit-learn模块实现的PCA类直接进行计算，来验证前面两种方法的正确性。
用以上三种方法来实现PCA的完整的Python如下：
import numpy as np from sklearn.decomposition import PCA import sys #returns choosing how many main factors def index_lst(lst, component=0, rate=0): #component: numbers of main factors #rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors) #rate range suggest: (0.8,1) #if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst) if component and rate: print('Component and rate must choose only one!') sys.exit(0) if not component and not rate: print('Invalid parameter for numbers of components!') sys.exit(0) elif component: print('Choosing by component, components are %s......'%component) return component else: print('Choosing by rate, rate is %s ......'%rate) for i in range(1, len(lst)): if sum(lst[:i])/sum(lst) >= rate: return i return 0 def main(): # test data mat = [[-1,-1,0,2,1],[2,0,0,-1,-1],[2,0,1,1,0]] # simple transform of test data Mat = np.array(mat, dtype='float64') print('Before PCA transforMation, data is:\n', Mat) print('\nMethod 1: PCA by original algorithm:') p,n = np.shape(Mat) # shape of Mat t = np.mean(Mat, 0) # mean of each column # substract the mean of each column for i in range(p): for j in range(n): Mat[i,j] = float(Mat[i,j]-t[j]) # covariance Matrix cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat)/(p-1) # PCA by original algorithm # eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending U,V = np.linalg.eigh(cov_Mat) # Rearrange the eigenvectors and eigenvalues U = U[::-1] for i in range(n): V[i,:] = V[i,:][::-1] # choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0 Index = index_lst(U, component=2) # choose how many main factors if Index: v = V[:,:Index] # subset of Unitary matrix else: # improper rate choice may return Index=0 print('Invalid rate choice.\nPlease adjust the rate.') print('Rate distribute follows:') print([sum(U[:i])/sum(U) for i in range(1, len(U)+1)]) sys.exit(0) # data transformation T1 = np.dot(Mat, v) # print the transformed data print('We choose %d main factors.'%Index) print('After PCA transformation, data becomes:\n',T1) # PCA by original algorithm using SVD print('\nMethod 2: PCA by original algorithm using SVD:') # u: Unitary matrix, eigenvectors in columns # d: list of the singular values, sorted in descending order u,d,v = np.linalg.svd(cov_Mat) Index = index_lst(d, rate=0.95) # choose how many main factors T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index]) # transformed data print('We choose %d main factors.'%Index) print('After PCA transformation, data becomes:\n',T2) # PCA by Scikit-learn pca = PCA(n_components=2) # n_components can be integer or float in (0,1) pca.fit(mat) # fit the model print('\nMethod 3: PCA by Scikit-learn:') print('After PCA transformation, data becomes:') print(pca.fit_transform(mat)) # transformed data main()
运行以上代码，输出结果为：
这说明用以上三种方法来实现PCA都是可行的。这样我们就能理解PCA的具体实现过程啦~~有兴趣的读者可以用其它语言实现一下哈。
