快速幂与矩阵快速幂
好久没有学OI了，今天突然回来打了一场比赛，T1是矩阵快速幂+高斯消元，想到快速幂算法啥的我也一直没有整理笔记，索性一起整理一下。
Part 1 什么是快速幂？
假设现在我们有两个整数：\(n,k\)现在要求你求出\(n^k\)对\(1e9+7\)的模是多少？
显然一个简单的算法就是\(O(n)\)把\(k\)个\(n\)乘起来，边乘边取模。
但是当\(k\)非常大，比如\(k=1e9\)的时候，这个算法的复杂度并不优秀。
那么怎么办呢？这个时候就要用到快速幂算法了。
另外，对于矩阵也有乘法运算，这里不再展开讲。矩阵快速幂算法就是对一个\(n*n\)的矩阵\(M\)，快速求\(M^k\)的算法（具体为什么是\(n*n\)涉及到矩阵乘法的性质，之后会提到）。
Part 2 快速幂、矩阵快速幂算法的原理
这里我们复习一下初中数学。
（1）如果将\(n\)自乘一次，就会变成 \(n^2\)，再把\(n^2\)自乘一次就会变成\(n^4\)，然后是\(n^8\)。以此类推，自乘\(m\)次的结果是\(n^{2^{m}}\) 。
（2）\(a^x·a^y = a^{x+y}\)
（3）将\(k\)转化为二进制观看一下：比如\(k=11=(1011)_{2}\)。从左到右，这些\(1\)分别代表十进制的\(8,2,1\)，可以说\(n^{11} = n^8·n^2·n^1\)
为什么要这样表示？因为在快速幂的过程中，我们会把\(a\)自乘为\(n^2\)，然后\(n^2\)自乘为\(n^4\)……像上面第一条说的。
相应的，如果我们的乘数\(k\)的二进制表示在右数第\(x\)位上为\(1\)的话，就代表\(n^k\)可以分解出一个因数：\(n^{2^x}\)，反之，在右数第\(x\)位上为\(0\)的话，就代表\(n^k\)不可以分解出上述因数。
所以，在求解时，我们可以创建一个\(base\)，初始等于\(n\)。然后扫描\(k\)的二进制表示，每扫描一位，\(base\)自我平方，如果\(k\)的这一位为\(1\)，那么把\(n\)乘上\(base\)（\(base\)相当于记录了\(n^{2^x}\)的值，若\(n^k\)分解出了这个值，那么答案\(n\)乘上\(base\)），扫描到最后一位的时候，就求出了\(n^k\)的值啦！
矩阵快速幂的原理同上，只不过把普通的乘法换成了矩阵乘法。
另外，关于取模运算，一般的，有公式：
这个应该都知道吧
Part 3 代码实现快速幂
显然快速幂的核心就是二进制分解\(n^k\)。
与运算符 a&b 的作用：
假设 a 的二进制表示为 1010110 ，b 的二进制表示是 1001101 ，那么
a&b的结果就是 1000100 。简单来说，就是当 a、b 的某一位同时取 1 的时候，结果才为 1 ，否则为 0 。
显然，k&1的结果可以表示\(k\)的二进制的第一位（1 是 000...1）。
右移运算符 a>>x 的作用：
把运算符左侧的数的二进制表示右移 x 位（相当于从右边开始去掉了 x 位，其余不变）。
在\(k\)检测完第一位的时候，直接k>>=1去掉\(k\)的第一位就好。
代码实现：
#define ll long long
ll Mod=998244353;
inline ll FastPow(ll a,ll k){//a是底数，k是指数
if(k==0)//特判一下
return a%Mod;
ll ans=1;//答案，这里我把读入进函数的a当作上文中提到的base
while(k){
if(k&1)//最后一位是1
ans=(ans%Mod*a%Mod)%Mod;//答案乘以base
a=(a%Mod*a%Mod)%Mod;//base自平方
k>>=1;//去掉二进制第一位
}
return ans;//返回答案
}
Part 4 关于矩阵乘法
想要做矩阵快速幂，先要了解矩阵乘法。（考虑到我数学水平有限，这里不展开讲）
先定义矩阵\(A_{n\times k}\)、\(B_{k\times m}\)。
\(A= \left\{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \end{matrix} \right\}\)，\(B= \left\{ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{km} \end{matrix} \right\}\)
矩阵乘法的定义如下：
（1）\(A\)（左矩阵）的列数必须与 \(B\)（右矩阵）的行数相同，这也是矩阵乘方要求是正方形矩阵的原因，即矩阵自乘要求行和列数相等。
（2） \(C\) 的行数与 \(A\)（左矩阵）相同，列数与\(B\)（右矩阵）相同，即\(C_{n\times m}\)
（3） \(C\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素 \(C_{ij}\) 由 \(A\) 的第 \(i\) 行元素与 \(B\) 的第 \(j\) 列元素对应相乘，再取乘积之和。
用一个公式来说就是：
关于单位矩阵：
单位矩阵是一个左上到右下对角线的元素都为\(1\)，其余元素为\(0\)的矩阵，一个矩阵乘以单位矩阵（在行列数允许的情况下），根据矩阵乘法的定义，得到的结果是这个矩阵本身。
OK，了解到这里已经足够我们做矩阵快速幂了。
Part 5 矩阵快速幂代码实现
对指数\(k\)的操作同上，这里不再复述。
重要的是，重载乘法运算符，使得我们在上面的式子对于矩阵也适用。
代码实现：
const ll Mod=1e9+7;
ll n,k;
ll M[maxn][maxn];//这里的M是初始矩阵
struct matrix{
ll M[maxn][maxn];//定义一个结构体
}A,res;
matrix operator * (matrix &a,matrix &b){//重载这个结构体的*运算符
matrix c;//c是运算结果
memset(c.M,0,sizeof(c.M));
for(int i=0;i<n;i++)//改为矩阵乘法的原理
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
c.M[i][j]=(c.M[i][j]%Mod+((a.M[i][k]%Mod)*(b.M[k][j]%Mod))%Mod)%Mod;//乘法取模
return c;//返回结果矩阵c
}
inline void FastMatrixPow(matrix a,ll k){
memset(res.M,0,sizeof(res.M));
for(int i=0;i<n;i++)
res.M[i][i]=1;//创建单位矩阵（相当于1）作为初始答案
while(k){
if(k&1)
res=res*a;
a=a*a;//同上操作，a作为base自乘
k>>=1;
}
}
Part 6 结语
其实快速幂算法也是分治算法的一种，体现的是分而治之的思想。核心就是把指数分解成几个2的幂的乘积的形式，然后分别求解。
今天是重回OI的第5天，希望可以快速恢复到去年CSP之前的状态吧。
