单调队列、优先队列
“如果一个人比你年轻还比你强,那你就要被踢出去了……”——单调队列
“来来来,神犇巨佬、金牌\(Au\)爷、\(AKer\)站在最上面,蒟蒻都靠下站!!!”——优先队列
Part 1:单调队列
单调队列的功能
顾名思义,所谓单调队列,那么其中的元素从队头到队尾一定要具有单调性(单调升、单调降等)
它被广泛地用于“滑动窗口”这一类\(RMQ\)问题,其功能是\(O(n)\)维护整个序列中长度为\(k\)的区间最大值或最小值
单调队列实现原理
滑动窗口问题
给定一个长度为\(n\)的序列\(a\)和一个窗口长度\(k\),窗口初始覆盖了\(1\rightarrow k\)这些元素
之后窗口每次向右移一个单位,即从覆盖\(1\rightarrow k\)变成覆盖\(2\rightarrow k+1\)
要求求出每次移动(包括初始时)窗口所覆盖的元素中的最大值(如图,花括号内即为被窗口覆盖的元素)
数据范围:\(1\leq k\leq n\leq 10^6,a_i\in[-2^{31},2^{31})\)
\(Solution\) \(1:\)暴力碾标算\(O(nk)\)
“越接近暴力的数据结构,能维护的东西就越多”——真理
线段树和树状数组维护不了众数,但分块可以。你再看暴力,它什么都能维护……
很简单,每次从窗口最左端扫到最右端,然后取最大值就\(OK\)了
显然在这种数据强度下暴力是过不了的,代码就不给了
\(Solution\) \(2:\)单调队列\(O(n)\)
思考暴力为什么慢了:因为窗口每次才移动\(1\)个单位,但是暴力算法每次都重复统计了\(k-2\)个元素
那我们把中间那一大堆数的最大值记录下来,每次进来一个元素,出去一个元素,统计一下最值,这不就快了吗?
但是,不幸的是,如果出去的那个元素正好是最值,那就得重新统计了
考虑维护一个单调不升队列,每次新元素进来之前,从这个队列的最小值向最大值依次比较
如果这个队列中的一个数\(a\)没有新来的那个元素\(b\)大,那么把\(a\)踢出序列
因为\(a\)一定在新来的数之前出现,它的值没有\(b\)大,所以在之后的统计中\(a\)永远也不可能成为最大值,就没必要记录\(a\)了
处理完新元素,现在看看旧元素怎么处理:
一个数\(a\)如果不在窗口里,那么需要把它踢出这个队列,但是如果我们每次移动都要找到这个\(a\)再踢出,那么复杂度又变成了\(O(nk)\),显然不行
发现新元素不受旧元素的影响,每次一定会进入到队列里,不会因为旧元素而把新元素卡掉,而且我们只是查询最大值,所以没有必要严格维护序列里每个值都在窗口里,只要保证最大值出自窗口里即可
因为这个队列单调不升,所以队头一定是我们要查询的最大值,那么我们可以对队头扫描,如果这个队头在窗口之外,把这个队头踢出去,新的队头是原来的第二个元素
重复上述操作,直到队头在窗口里即可,因为序列单调不升,所以队头一定是窗口内的最大值
以上就是单调队列算法的全部内容
复杂度分析
有些刚学的同学,看到循环\(n\)重嵌套,马上来一句:这个算法的复杂度是\(O(n^n)\) 的,这是不对的!!!
比如刚才我们的这个算法,看似每次窗口移动时都要对整个单调队列进行扫描,但是,从总体来看,每个元素只会入队一次,出队一次,所以复杂度是\(O(n)\)的
核心\(Code\)
struct Node{
int num,und;//num是值,und是下标
Node(){}
}q[1e6+10];
int main(){
int i,head=1,tail=0;//建立单调队列维护k个数中最大值,head是队头,tail是队尾
for(i=1;i<k;i++){//先把k个元素都进来
while(head<=tial&&q[tail].num<a[i]) tail--;//如果队尾没有新元素大,那么在之后的统计中,它永远不可能成为最大值,踢出
q[++tail].und=i,q[tail].num=a[i];//新元素插入队尾
}
for(;i<=n;i++){
while(head<=tail&&q[tial].num<a[i]) tail--;
q[++tail].und=i,q[tail].num=a[i];
while(q[head].und<i-k+1) head++;//队头过时了,踢出
ans[i]=q[head].num;//统计答案
}
}
\(\text{Upd:2023.10.10}\) 更新一版封装好的,写的也简单一点(上面那个刚学 OI 的时候搞的,有点屎山)。
class Data
{
public:
int num, it;
Data(int a, int b) : num(a), it(b){}
};
class Monotonic_queues
{
public:
Monotonic_queues() : cnt(0) {}
inline void PushBack(const int x)
{
cnt ++;
while(Q.size() && Q.back().num < x)
Q.pop_back();
//从队尾开始 pop 掉比 x 小的元素,因为这些元素又小又老
Q.push_back( Data(x, cnt) );
}
inline int Front(const int tme)
{
//参数 tme 为时间戳,检查元素是否过时
while(Q.size() && Q.front().it < tme)
Q.pop_front();
return Q.front().num;
}
private:
int cnt;
deque< Data > Q;
};
Part 2:优先队列
一个悲伤的故事背景:
从前,NOI系列比赛禁止使用\(C++STL\)时,优先队列是每一个\(OI\)选手一定会熟练手写的数据结构。
但是自从\(STL\)盛行,会手写优先队列的选手越来越少了……传统手艺没有人继承,真是世风日下(STL真香)啊……
优先队列的功能
优先队列有另一个名字:二叉堆
功能是维护一堆数的最大值(大根堆)/最小值(小根堆),存放在堆顶(也就是根)
注意:凡是\(STL\)都自带常数
优先队列实现原理
没错,实现原理就是\(C++STL\)
\(C++STL\)中\(#include<queue>\)头文件为我们提供了一个免费的优先队列——\(priority\)_\(queue\),但是不支持随机删除,只支持删除堆顶
优先队列的声明和操作方法
声明方法
std::priority_queue<int>Q;
上面就声明了一个\(int\)类型的大根堆,想要一个小根堆?没关系,你可以这么写:
std::priority_queue< int,std::vector<int>,std::greater<int> >Q;
或者把每个数入堆时都取相反数,然后在用的时候再取相反数
对于结构体,我们还有更骚的操作:重载小于号运算符
struct Node{
int x,y;
Node(){}
}
bool operator < (const Node a,const Node b){ return a.x<b.x; }
std::priority_queue<Node>Q;
这样就是按照\(x\)大小比较的大根堆,如果你想要小根堆,那么把重载运算符改成这句:
bool operator < (const Node a,const Node b){ return a.x>b.x; }
这样,系统就会认为小的更大,所以小的就会跑到堆顶去
但是,如你想要\(int\)类型的小根堆,千万不要重载运算符,这样普通的两个\(int\)数就不能正常比较了(系统会认为小的更大)
常用操作命令
//std priority_queue 操作命令
Q.push();//插入元素,复杂度O(logn)
Q.pop();//弹出堆顶,复杂度O(logn)
Q.size();//返回堆中元素个数,复杂度O(1)
Q.top();//返回堆顶元素,复杂度O(1)
奇技淫巧
什么?你想让\(priority\)_\(queue\)支持随机删除,但是又不想手写?(那你可真是懒
但是这能难倒人类智慧吗?显然不能,这里有一个玄学的延迟删除法,可以满足需求
我们可以维护另一个优先队列(删除堆),每次要删除一个数(假设为\(x\))
当需要删除\(x\)的时候,我们并不去真正的堆里面删除\(x\),而是把\(x\)加入删除堆
访问维护最值的堆时,看看堆顶是不是和删除堆堆顶一样,如果一样,说明这个数已经被删掉了,在原堆和删除堆中同时\(pop\)掉
这个方法为什么对呢?万一原堆的堆顶\(x\)已经被删了,而删除堆的堆顶不是\(x\),导致找到了错的最值,怎么办呢?
其实这种情况不可能出现。假设我们维护了一个大根堆,如果删除堆的堆顶不是\(x\),那必然是一个比\(x\)大的数\(y\)
如果\(y\)还没有被删除,那么比\(y\)小的\(x\)一定还不是堆顶,几次弹出后,堆顶是\(y\),发现删除堆堆顶同样是\(y\),\(y\)从原堆和删除堆中删除
换句话说,当原堆的堆顶是\(x\)时,删除堆堆顶和原堆中还需要删除的数一定\(\leq x\),所以不会找到错误的最值