双向(折半)搜索

双向(折半)搜索

Part 1：双向搜索概念与朴素复杂度分析

双向搜索是对于深度优先搜索的一种优化，它的基本思想是：把\(dfs\)从一端开始改为从两端开始，从而有效减少搜索状态

如果上面的定义不懂的话，请看下面两这张图(设\(n\)是搜索层数)：

上面这个图就是普通的\(dfs\)在每次拓展两个节点的情况下所产生的的搜索树的形状

这棵搜索树，每一个节点都代表了一次递归调用，我们很容易可以看出来它的复杂度是\(O(2^n)\)(满二叉树情况下)(其实减不减1无所谓了)

下面这个是双向搜索所产生的两棵搜索树(一颗红色，一颗蓝色)

我们在这两棵搜索树上分别得到了\(4\)和\(2\)种结果，现在组合一下(绿色部分)，得到了\(4*2=8\)种结果，和原来的搜索结果一样

那么分析复杂度：我们一次搜索的复杂度\(O(2^\frac{n+2}{2})\)，两次搜索就是\(O(2^{\frac{n+4}{2}})\)

如果我们朴素的统计答案，那么一次搜索会产生\(2^{\frac{n}{2}}\)种结果，两次则平方，变成了\(2^n\)次统计

把复杂度相加：总复杂度是\(O(2^{\frac{n+4}{2}}+2^n)\)

Q：怎么还慢了呢？混蛋！

A：(没错就是慢了)

Q：那你讲个P！(握紧小拳头)

A：(先别打，先别打！我还没讲完呢！)

Part 2：真正的双向搜索复杂度分析

上面的方法慢了，主要原因是我们选择了“朴素”的统计答案

考虑怎么优化：我们统计答案的第一步就是判断这个组合得到的最终答案合不合法

那么，我们可以考虑对其中一个答案数组排序，然后以另一个答案数组为查找元素进行二分查找

假设找到一个元素，因为在它之前的元素一定小于它，所以在这个元素之前的元素也都合法，这样我们就不用一个一个的统计答案了，提高了效率

分析这么做的时间复杂度：

\(sort()\)快速排序一遍\(O(\frac{n}{2}logn)\)

进行\(\frac{n}{2}\)次二分查找，\(O(\frac{n}{2}logn)\)

统计答案总复杂度：\(O(nlogn)\)

算法总复杂度：\(O(2^{\frac{n+4}{2}}+nlogn)\)

这不就快了吗

Part 3：例题

传送门：https://www.luogu.com.cn/problem/P4799

题目中要求我们求出在不超过总预算的情况下，小B去看比赛的方案数

首先，数据范围\(n\leq 40\)，普通的\(dfs\)肯定会\(TLE\)的飞起，我们考虑双向搜索

令\(Mid=\frac{n}{2}\)，我们第一次从\(1\)搜索到\(Mid\)，把答案记录到序列\(a\)中，第二次从\(Mid+1\)搜索到\(n\)答案记录到序列\(b\)中

现在统计答案，从\(a\)，\(b\)中任选一个序列进行快速排序，(这里排哪个应该对时间有影响，但是不大)，这里假设我们对\(b\)排序

我们的满足答案的状态是：\(a_i+b_j<=m\)，所以我们对\(a\)数组\(for\)一遍，在\(b\)数组中二分查找第一个大于\(m-a_i\)的元素

假设第一个大于\(m-a_i\)的元素是\(b_j\)，那么在\(j\)之前的元素一定也符合条件(因为\(b\)序列单调不降)，于是\(ans+=j\)

另外，因为我们搜索时会进行一些特判和剪枝，所以我们搜索和统计答案的复杂度比上面推出来的式子低，总复杂度也远远低于\(O(2^{\frac{n+4}{2}}+nlogn)\)

\(Code\)

#include<cstdio>
#include<utility>
#include<algorithm>
typedef long long int ll;
const ll maxn=(1<<20)+10;//产生的最大状态数是2^20
ll n,m,price[45],ida,idb,a[maxn],b[maxn],ans;//不开long long见祖宗
//n场比赛，m预算，price[i]表示第i场收费，ida为a数组的迭代器，idb是b数组的迭代器，ans统计答案
inline ll read(){
	ll x=0,fh=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') fh=-1;ch=getchar(); }
	while('0'<=ch&&ch<='9'){ x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar(); }
	return x*fh;
}//瞎写的快读
void dfs(ll num,ll u,ll end,ll turn){
//num表示枚举到第num场比赛，u表示已使用预算，end表示搜到第几场比赛停止，turn表示这是第几轮搜索
	if(num==end+1){//如果搜到了end+1场比赛，则已经完成搜索，记录答案
		if(turn==1){ a[ida]=u;ida++; }//第一轮记录到a中，迭代器++
		else{ b[idb]=u;idb++; }//第二轮记录到b中迭代器++
		return;
	}
	dfs(num+1,u,end,turn);//第num场比赛不看
	if(u+price[num]<=m)//剪枝，如果要看第num场比赛，那么先判断钱够不够，不够的话看个寂寞，直接跳过搜索
		dfs(num+1,u+price[num],end,turn);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		price[i]=read();//快速读入
	ll Mid=(n>>1);//取中点Mid
	dfs(1,0,Mid,1);//第一次搜索
	dfs(Mid+1,0,n,2);//第二次搜索
	std::sort(b,b+idb);//对b序列排序
	for(ll i=0;i<ida;i++){
		ll qwq=std::upper_bound(b,b+idb,m-a[i])-b;
                //在b中二分查找第一个大于n-a[i]的元素
		ans+=qwq;//答案加上该元素的下标，分析如上
	}
	printf("%lld\n",ans);//输出答案
	return 0;
}

感谢您的阅读\(OvO\)