图论（一）

图论算法（一）存图

我发现我的博客阅读量贼低，问小伙伴们，ta们都说这些博客太长了QAQ！

今天来个短亿点的（也短不了多少……）

进入正题，图论究竟是什么？

图论就是给你一张图，让你在这张图上进行各种操作，但是我们要进行操作之前，要先明白图是什么。

如果你还不了解图是什么，我这里稍微BB一两句，如果你已经了解了图是什么，请直接去第二部分！

Part 1：图是什么

我们先看一张图片：

假设有1,2,3,4,5五座城市，

我们用5个标号的圆圈（1,2,3,4,5）来表示这5个城市。

其中有一些城市之间有公路，有一些没有（用连线表示）。

每一条公路也有一定的长度（已经在连线上表出），公路是双向的（这很重要）。

综合这些元素，我们就得到了上面这个基本的“图”。

这就是图的基本元素。

我们用一些术语来表示刚才提到的这些元素。

城市叫做“点”，图的基本元素就是点和边。

公路叫做“边”，边分为有向边和无向边，有向边就是只能从A到B但是不能从B到A（你可以理解是A市和B市中有一条A->B的单行线），无向边可以任意来回走。

公路的长度叫做“权”，代表两个“点”之间的距离。当然，图是抽象的而不是现实世界中存在的，这个距离就可以使负的，我们叫它“负权”。

如果几个边把几个点连成了一个环形，我们叫它“环”。

如果一个点有一条边指向了自己，我们叫它“自环”。

如果一个环的所有构成边的权值和为负，我们就叫他“负环”（我叫他自闭环，因为出现自闭环的图中会导致无限循环，无法算出最短路等……）

Part 2：怎么存图

有两种数据结构可以用来存图，而且这两种数据结构都很好想也很简单实现，大概小学生都能想出来。

第一种，我们叫它“邻接矩阵”。

所谓邻接矩阵，就是指一个n*n（n是图中点的个数）的int数组。

比如我这么写：

#define N 110
int v[110][110];

这个数组就可以表示一个有109个点的图，具体我们用v[i][j]表示第i个点到第j个点的边的长度（点i->点i ==0，如果 点i->点j 没有边相连，记为0x3f）。

邻接矩阵有如下特性：

1、空间复杂度O（n^2），这里要注意空间会不会爆炸，比如题目中n<=10^5，我们就不能用邻接矩阵。

2、对于图的指定边的更新操作，复杂度为O（1）。

具体代码如下：（给出n个点m条边，给出第i条边是x->y权值为z）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1010
#define IAKIOI 0
using namespace std;
int n,m,v[N][N];
int main()
{
    memset(v,0x3f,sizeof(v));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        v[x][y]=z;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[i][i]=0;
    return IAKIOI;
}

 下面介绍第二种存图的方法——邻接表

首先我们要知道C++STL库里有一个容器叫做vector，它可以动态地申请空间，这样就节省了邻接矩阵存下“不存在的边”而浪费的宝贵空间。

下面是邻接表的实现方法

1	2（1）	3（2）
2	1（1）	——
3	2（3）	——

 

 

 

 

像这个表格，（标记——的是未使用的内存空间）我们用第一列的数字代表点i，后面跟着的一行表示从点i出发可以到达的点（点没有括号）和边权（边权用括号括起来了）。

比如第一行的意思就是：点1可以到点2，距离为1，点1可以到点3，距离为2。

这样我们节省了两个内存空间，当点的数量非常大的时候，节省的空间是非常可观的。

但是邻接表也有弊端，vector容器调用起来比较慢，我们如果要对一个边进行修改，只能遍历邻接表的某个一维空间，不像邻接矩阵一样可以直接用下标访问。

 Part 3：vector容器

好了在给出邻接表代码之前我们先康康vector容器是什么东西。

很简单来说，vector容器就是一个可以任意更改长短的向量，我们可以存下不超过它的长度的数据，当然也可以随时给他增加长度或者减少长度。

既然是STL模板库里的东西，必定有一些配套的函数，我知道的有以下几个：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int>vec;
int main()
{
    int len=vec.size();//返回元素个数 
    vec.push_back(1);//把“1”插入到vector末尾(先增加一个空间)
    vector<int>::iterator it;//定义一个指针it(迭代器)
    it=vec.begin();//迭代器指向第一个元素 
    it=vec.end();//迭代器指向最后一个元素
    for(unsigned int i=0;i<vec.size();i++)//用unsigned，不然会警告错误(不用也没事)
    {
        //……访问每个元素 
    }
    for(vector<int>::iterator it=vec.begin();it!=vec.end();it++)//和上面等价的指针写法
    vec.clear();//清空vector，但不回收内存 
    vector<int>().swap(vec); //清除容器并回收内存 

}

上面就是vector的基本用法（其实写邻接表用不了这么多，但是阔以了解一下……）

下面回到邻接表部分：

给出代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#define N 10010
using namespace std;
struct Node{
    int to,cost;//to表示到达点，cost表示权值 
};
int n,m; 
vector<Node>v[N];//N个vector容器表示N个点的路径情况(看上面的表格就明白) 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);//n个点m条边的图 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        v[x].push_back((Node){y,z});//x点到y点有权值为z的边 
        //v[y].push_back((Node){x,z});无向图要加这句话反向建边 
    }
    return 0;
}

以上就是邻接表和邻接矩阵存图的思路和代码，（还有vector的一点点知识，学会了这些就可以开启下一篇的知识——图论啦！）