算法基础1.3.2高精度减法

前言

先看高精度加法的文章，如果没有看，我把高精度加法文章中的总结前言放到这里

该文章探讨的高精度代指C++中极大整数的计算，不是浮点数（y总说那个少见，不讲）。

这个问题只在C++中存在，Java有大整数类来解决，python本身特性就已经解决了。

高精度整数分为四种类型：A+B，A-B，A*a（一个大数乘一个小数），A / a（一个小数除一个大数）。这里面的大数（大写字母）极端一点的话，它的位数能来到10的6次方。小数（小写字母）他的数值一般是10000。

对于高精度整数，我们的存储方式一般是数组，每一个数组位置保存一个数。

下文我们都是使用的C++中的vector而非数组array，使用数组也可以，但是vector提供的方法会更加便利。比如我们得到内容长度，vector可以直接使用他的函数length()，而数组则需要我们利用sizeof(a)/sizeof(a[0])去计算。

正文开始之前我们再谈一下四个算法的共性：

1. 数据存储方面，我们是把个位存在0位置，十位存在1位置....这虽然相当于让我们的数倒过来了，但是目的是相当有用的。如果在进行计算时我们这个数要进位，那么比起把所有数往后面挪一位再把进位的数放到第0位，肯定是直接把进位的数加到数组最后一位更加轻松，同时运算也更快
2. 思路方面，其实就是人工模拟计算过程，跟我们在演草纸上计算的思路一样。

在学会高精度加法后，我们就已经将四个算法的整体架构学会了，我们的存储方式都是一样的。我们需要改动的只有函数的内容，而指导思想都是一样的，就是使用代码人工模拟算法计算过程。

正文

这里有几个新的思想

• 我们始终保持被减数大于减数，这样可以让我们的运算思路唯一。面对结果为负的情况（此时被减数小于减数），我们就让两者减法顺序互换，保证函数运算结果为正值，然后在最后的输出中输出一个-即可
• 就像上面加法一样，我们对于减法思路也可以进行拆解：当前位的值 = 被减数当前位的值 - 减数当前位的值 - 上一位借的1（如果有的话）

注意：下面的代码只考虑了两个数都是正数的情况，对于其他情况要使用其他模板。因为对于任意两个数相减，我们都可以换成两个数的绝对值相减（同号，并且同负号情况下需要整体再加一个符号或者将他们的位置反转），或者两个数的绝对值相加（异号，同时其中一种情况要整体加一个负号）

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 比较两个数的大小，保证被减数大于减数。
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    //先比较两个数的位数，如果位数不同可以直接得出比大小的答案
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
	//如果位数一样，再从最大位数开始一个数一个数的比较
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
        if (A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];

    return true;
}

// 进行减法
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        // 下面两行代码将A[i]-B[i]-t进行了拆分（因为-B[i]这个要分情况讨论）
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        // 这个其实是将两种情况整合了，具体哪两种情况，看下面的解释
        C.push_back((t + 10) % 10);
        // 计算下一位是否被此位借1了
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
	//把前置0都去掉，比如003这种。同时保证答案为0时不去掉
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    cin >> a >> b;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');

    vector<int> C;
	
    // 调整两个数关于除数与被除数的关系
    if (cmp(A, B)) C = sub(A, B);
    else C = sub(B, A), cout << '-';

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];
    cout << endl;

    return 0;
}

现在我们解释一下函数里对t的使用，这个t既作为当前位结果的一个记录，又作为借位的标记来传递给下一次循环（进入下一次循环前t=1说明下一位被当前借了1）

1. 我们一开始将t初始化为0（在for循环语句中），这是因为个位数上的借位情况一定是没有被借位（t值为0）
2. 后面我们使用的t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];便是遵循我们的减法思路。其实这里可以开个新的变量来存储当前值，但是使用t就够了。
3. 算出当前值t后，如果
   • 为正，说明不需要借位，这个位置上的数就是t本身
   • 为负，说明经过减法后欠了一些数，需要找下一位借1，借完1后当前位的数就是t+10（这属于小学就知道的思想，只不过放代码里了）
   • 而我们的(t + 10) % 10就巧妙地将两个情况结合在了一起
4. 注意上面放入容器中的操作我们并没有改变t的值，他现在还是有正负的。我们此时根据他的符号就可以判断它有没有找下一位借1
   • 如果借了（负值），那么t变为1。在下次循环中，他会给下一位的数减一
   • 如果没借（正值），那么t变为0，在下一次循环中对结果没有影响

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本文作者：Zaughter
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