算法基础1.3.3高精度乘法

前言

先看高精度加法的文章，如果没有看，我把高精度加法文章中的总结前言放到这里

该文章探讨的高精度代指C++中极大整数的计算，不是浮点数（y总说那个少见，不讲）。

这个问题只在C++中存在，Java有大整数类来解决，python本身特性就已经解决了。

高精度整数分为四种类型：A+B，A-B，A*a（一个大数乘一个小数），A / a（一个小数除一个大数）。这里面的大数（大写字母）极端一点的话，它的位数能来到10的6次方。小数（小写字母）他的数值一般是10000。

对于高精度整数，我们的存储方式一般是数组，每一个数组位置保存一个数。

下文我们都是使用的C++中的vector而非数组array，使用数组也可以，但是vector提供的方法会更加便利。比如我们得到内容长度，vector可以直接使用他的函数length()，而数组则需要我们利用sizeof(a)/sizeof(a[0])去计算。

正文开始之前我们再谈一下四个算法的共性：

1. 数据存储方面，我们是把个位存在0位置，十位存在1位置....这虽然相当于让我们的数倒过来了，但是目的是相当有用的。如果在进行计算时我们这个数要进位，那么比起把所有数往后面挪一位再把进位的数放到第0位，肯定是直接把进位的数加到数组最后一位更加轻松，同时运算也更快
2. 思路方面，其实就是人工模拟计算过程，跟我们在演草纸上计算的思路一样。

高精度乘法应该算是最简单的一个了（加法难是因为他是第一个题，还没有养成这个思维模式）

正文

• 乘法思路：用整个小数去依次乘大数的每一位（这里相当于把大数拆开然后用乘法分配律）。比如1234*56，第一步就是56乘4，第二步是56乘3
• 由于题目要求是输入一个大数和一个小数，所以一定是后面的小，就不用像减法一样要进行比大小的操作了。
• 需要处理前导0的情况：当其中有一个数为0，如果不进行处理，输出的会是0000...这样由许多个0组成的数。下面代码只是一种思路，也可以判断如果有一个数为0，就不让他进入我们写的函数中，直接输出0即可

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;


vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    // 这里是把两个循环式子结合在一起了，y总的代码真是艺术品，下面会讲解
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        // 有这个if是为了配合上面for循环的第二个条件
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        // 算出当前位的结果
        C.push_back(t % 10);
        // 算出要进的数
        t /= 10;
    }
	// 处理前导0
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}


int main()
{
    string a;
    int b;

    cin >> a >> b;

    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');

    auto C = mul(A, b);

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);

    return 0;
}

这里讲解一下y总的神奇代码。

这个函数中其实我们要处理的事情有两件

1. 正常的乘法，一直乘到把大数的所有位都乘过一遍为止。这个我们使用if循环，条件为i < A.size()。在只有这个的情况下，里面的t += A[i] * b是不用写那么判断条件的，毕竟这个条件就是for里面的条件，它既然在循环里面，就一定成立

2. 把所有位数都乘完后，我们还要有一个过程来处理剩下要进的数。由于我们是小数这个整体去乘大数的一个位，所以t可能是一个很大的数，它即使整除10后也不一定是一个个位数。所以在进行完第一件事情后，t里面可能还是一个很大的数，他们是新的位。我们正常情况下要用while(t)把t里面的数都添加到容器中。但是y总岂是常人，他把这个条件加到了第一件事情的for条件句里面，这时候这个for就成为了for和while的结合，第一件事情的for结束后，由于条件句里是||判断，所以还不会结束，这个if变成了一个while语句，直至t中的数被处理完。

   这也是为什么循环中的t += A[i] * b要加if，是为了防止for进行完，开始进行while时还进行第一件事情。

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本文作者：Zaughter
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