算法基础1.3.3高精度乘法

前言

先看高精度加法的文章,如果没有看,我把高精度加法文章中的总结前言放到这里

该文章探讨的高精度代指C++中极大整数的计算,不是浮点数(y总说那个少见,不讲)。

这个问题只在C++中存在,Java有大整数类来解决,python本身特性就已经解决了。

高精度整数分为四种类型:A+BA-BA*a(一个大数乘一个小数),A / a(一个小数除一个大数)。这里面的大数(大写字母)极端一点的话,它的位数能来到10的6次方。小数(小写字母)他的数值一般是10000。

对于高精度整数,我们的存储方式一般是数组,每一个数组位置保存一个数。

下文我们都是使用的C++中的vector而非数组array,使用数组也可以,但是vector提供的方法会更加便利。比如我们得到内容长度,vector可以直接使用他的函数length(),而数组则需要我们利用sizeof(a)/sizeof(a[0])去计算。

正文开始之前我们再谈一下四个算法的共性:

  1. 数据存储方面,我们是把个位存在0位置,十位存在1位置....这虽然相当于让我们的数倒过来了,但是目的是相当有用的。如果在进行计算时我们这个数要进位,那么比起把所有数往后面挪一位再把进位的数放到第0位,肯定是直接把进位的数加到数组最后一位更加轻松,同时运算也更快
  2. 思路方面,其实就是人工模拟计算过程,跟我们在演草纸上计算的思路一样。

高精度乘法应该算是最简单的一个了(加法难是因为他是第一个题,还没有养成这个思维模式)

正文

  • 乘法思路:用整个小数去依次乘大数的每一位(这里相当于把大数拆开然后用乘法分配律)。比如1234*56,第一步就是564,第二步是563
  • 由于题目要求是输入一个大数和一个小数,所以一定是后面的小,就不用像减法一样要进行比大小的操作了。
  • 需要处理前导0的情况:当其中有一个数为0,如果不进行处理,输出的会是0000...这样由许多个0组成的数。下面代码只是一种思路,也可以判断如果有一个数为0,就不让他进入我们写的函数中,直接输出0即可
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; vector<int> mul(vector<int> &A, int b) { vector<int> C; int t = 0; // 这里是把两个循环式子结合在一起了,y总的代码真是艺术品,下面会讲解 for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ) { // 有这个if是为了配合上面for循环的第二个条件 if (i < A.size()) t += A[i] * b; // 算出当前位的结果 C.push_back(t % 10); // 算出要进的数 t /= 10; } // 处理前导0 while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; } int main() { string a; int b; cin >> a >> b; vector<int> A; for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0'); auto C = mul(A, b); for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]); return 0; }

这里讲解一下y总的神奇代码。

这个函数中其实我们要处理的事情有两件

  1. 正常的乘法,一直乘到把大数的所有位都乘过一遍为止。这个我们使用if循环,条件为i < A.size()。在只有这个的情况下,里面的t += A[i] * b是不用写那么判断条件的,毕竟这个条件就是for里面的条件,它既然在循环里面,就一定成立

  2. 把所有位数都乘完后,我们还要有一个过程来处理剩下要进的数。由于我们是小数这个整体去乘大数的一个位,所以t可能是一个很大的数,它即使整除10后也不一定是一个个位数。所以在进行完第一件事情后,t里面可能还是一个很大的数,他们是新的位。我们正常情况下要用while(t)t里面的数都添加到容器中。但是y总岂是常人,他把这个条件加到了第一件事情的for条件句里面,这时候这个for就成为了forwhile的结合,第一件事情的for结束后,由于条件句里是||判断,所以还不会结束,这个if变成了一个while语句,直至t中的数被处理完。

    这也是为什么循环中的t += A[i] * b要加if,是为了防止for进行完,开始进行while时还进行第一件事情。


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