二次剩余
今天要讨论的问题是解方程,其中
是奇质数。
引理:
证明:由费马小定理,
引理:方程有解当且仅当
定理:设满足
不是模
的二次剩余,即
无解,那么
是二次
剩余方程的解。
证明:由,前面的等号用二项式定理和
,后面的等
号用了费马小定理和是模
的二次非剩余。然后
在算法实现的时候,对的选择可以随机,因为大约有一半数是模
的二次非剩余,然后快速幂即可。
接下来我们来解另一个二次同余方程的解,其中
,并且
是奇质数。方法如下
先求出方程的一个解
,那么进一步有
我们知道
那么也就是说
可以证明和
,那么最终得到
这里由于不是素数,所以求逆元用扩展欧几里得算法即可。
例如:求方程的解
分析:利用上述方法求得,最终解得
。
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