二次剩余
今天要讨论的问题是解方程，其中
是奇质数。
引理：
证明：由费马小定理，
引理：方程有解当且仅当
定理：设满足
不是模
的二次剩余，即
无解，那么
是二次
剩余方程的解。
证明：由，前面的等号用二项式定理和
，后面的等
号用了费马小定理和是模
的二次非剩余。然后
在算法实现的时候，对的选择可以随机，因为大约有一半数是模
的二次非剩余，然后快速幂即可。
接下来我们来解另一个二次同余方程的解，其中
，并且
是奇质数。方法如下
先求出方程的一个解
，那么进一步有
我们知道
那么也就是说
可以证明和
，那么最终得到
这里由于不是素数，所以求逆元用扩展欧几里得算法即可。
例如：求方程的解
分析：利用上述方法求得，最终解得
。
