莫比乌斯反演
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莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。
定理：和
是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件
，那么我们得到结论
在上面的公式中有一个函数，它的定义如下：
（1）若，那么
（2）若，
均为互异素数，那么
（3）其它情况下
对于函数，它有如下的常见性质：
（1）对任意正整数有
（2）对任意正整数有
线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。
有了上面的知识，现在我们来证明莫比乌斯反演定理。
证明
证明完毕！
嗯，有了莫比乌斯反演，很多问题都可以简化了，接下来我们来看看莫比乌斯反演在数论中如何简化运算的。
题目：http://bz.cdqzoi.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818
题意：给一个正整数，其中
，求使得
为质数的
的个数，
。
分析：对于本题，因为是使得为质数，所以必然要枚举小于等于
的质数，那么对于每一个质数
，只
需要求在区间中，满足有序对
互质的对数。
也就是说，现在问题转化为：在区间中，存在多少个有序对使得
互质，这个问题就简单啦，因为
是有序对，不妨设，那么我们如果枚举每一个
，小于
有多少个
与
互素，这正是欧拉函数。所以
我们可以递推法求欧拉函数，将得到的答案乘以2即可，但是这里乘以2后还有漏计算了的，那么有哪些呢？
是且为素数的情况，再加上就行了。
嗯，上题不算太难，普通的欧拉函数就可以搞定，接下来我们来看看它的升级版。
题意：给定两个数和
，其中
，
，求
为质数的
有多少对？其中
和
的范
围是。
分析：本题与上题不同的是和
不一定相同。在这里我们用莫比乌斯反演来解决，文章开头也说了它能大大简化
运算。我们知道莫比乌斯反演的一般描述为：
其实它还有另一种描述，本题也是用到这种。那就是：
好了，到了这里，我们开始进入正题。。。
对于本题，我们设
为满足
且
和
的
的对数
为满足
且
和
的
的对数
那么，很显然，反演后得到
因为题目要求是为质数，那么我们枚举每一个质数
，然后得到
如果直接这样做肯定TLE，那么我们必须优化。
我们设，那么继续得到
。
到了这里，可以看出如果我们可以先预处理出所有的对应的
的值，那么本题就解决了。
我们设，注意这里
为素数，
。
那么，我们枚举每一个，得到
，现在分情况讨论：
（1）如果整除
，那么得到
（2）如果不整除
，那么得到
