计算几何中的精度问题
转自：北岛知寒
计算几何头疼的地方一般在于代码量大和精度问题，代码量问题只要平时注意积累模板一般就不成问题了。精度问题则不好说，有时候一个精度问题就可能成为一道题的瓶颈，简直“画龙点睛”。这些年的题目基本是朝着越来越不卡精度的方向发展了，但是也不乏一些奇怪的题，另外有些常识不管题目卡不卡，都是应该知道的。今天我就开膛回顾下见过且还有印象的精度问题，由于本人见识和记忆均有限，望各位大神瞄过后不吝补充。另外，为了弥补我匮乏的文思，我可能乱扯些不太相关或者尽人皆知的东西凑数。那么，现在开始。
计算几何的精度问题说到底其实是浮点数的精度问题，但我觉得“计算几何”比“浮点数”更能吸引眼球，所以选了这个标题。
1.浮点数为啥会有精度问题：
浮点数(以C/C++为准)，一般用的较多的是float, double。
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占字节数 |
数值范围 |
十进制精度位数 |
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float |
4 |
-3.4e-38～3.4e38 |
6~7 |
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double |
8 |
-1.7e-308～1.7e308 |
14~15 |
如果内存不是很紧张或者精度要求不是很低，一般选用double。14位的精度(是有效数字位，不是小数点后的位数)通常够用了。注意，问题来了，数据精度位数达到了14位，但有些浮点运算的结果精度并达不到这么高，可能准确的结果只有10~12位左右。那低几位呢？自然就是不可预料的数字了。这给我们带来这样的问题：即使是理论上相同的值，由于是经过不同的运算过程得到的，他们在低几位有可能(一般来说都是)是不同的。这种现象看似没太大的影响，却会一种运算产生致命的影响: ==。恩，就是判断相等。注意，C/C++中浮点数的==需要完全一样才能返回true。来看下面这个例子:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;
double b = acos(-1.0);
printf(" a = %.20lf\n", a);
printf(" b = %.20lf\n", b);
printf(" a - b = %.20lf\n", a - b);
printf("a == b = %d\n", a == b);
return 0;
}
输出：
a = 3.14159265358979360000
b = 3.14159265358979310000
a - b = 0.00000000000000044409
a == b = 0
我们解决的办法是引进eps，来辅助判断浮点数的相等。
2. eps
eps缩写自epsilon，表示一个小量，但这个小量又要确保远大于浮点运算结果的不确定量。eps最常见的取值是1e-8左右。引入eps后，我们判断两浮点数a、b相等的方式如下:
定义三出口函数如下: int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}
则各种判断大小的运算都应做如下修正:
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传统意义 |
修正写法1 |
修正写法2 |
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a == b |
sgn(a - b) == 0 |
fabs(a – b) < eps |
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a != b |
sgn(a - b) != 0 |
fabs(a – b) > eps |
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a < b |
sgn(a - b) < 0 |
a – b < -eps |
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a <= b |
sgn(a - b) <= 0 |
a – b < eps |
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a > b |
sgn(a - b) > 0 |
a – b > eps |
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a >= b |
sgn(a - b) >= 0 |
a – b > -eps |
这样，我们才能把相差非常近的浮点数判为相等;同时把确实相差较大(差值大于eps)的数判为不相等。
PS: 养成好习惯，尽量不要再对浮点数做==判断。例如，我的修正写法2里就没有出现==。
3. eps带来的函数越界
如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出来并传进来的，那就得小心了。
如果a本来应该是0的，由于浮点误差，可能实际是一个绝对值很小的负数(比如1e-12),这样sqrt(a)应得0的，直接因a不在定义域而出错。
类似地，如果a本来应该是±1,则asin(a)、acos(a)也有可能出错。
因此，对于此种函数，必需事先对a进行校正。
4. 输出陷阱I
这一节和下一节一样，都是因为题目要求输出浮点数，导致的问题。而且都和四舍五入有关。
说到四舍五入，就再扯一下相关内容,据我所知有三种常见的方法:
1. printf(“%.3lf”, a); //保留a的三位小数，按照第四位四舍五入
2. (int)a; //将a靠进0取整
3. ceil(a); floor(a); //顾名思义，向上取证、向下取整。需要注意的是，这两个函数都返回double，而非int
其中第一种很常见于输出(nonsense…)。
现在考虑一种情况,题目要求输出保留两位小数。有个case的正确答案的精确值是0.005,按理应该输出0.01,但你的结果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲剧),如果按照printf(“%.2lf”, a)输出，那你的遭遇将和括号里的字相同。
解决办法是，如果a为正，则输出a+eps, 否则输出a-eps
典型案例: POJ2826
5. 输出陷阱II
ICPC题目输出有个不成文的规定(有时也成文)，不要输出: -0.000
那我们首先要弄清，什么时候按printf(“%.3lf\n”, a)输出会出现这个结果。
直接给出结果好了：a∈(-0.000499999……, -0.000……1)
所以，如果你发现a落在这个范围内，请直接输出0.000。更保险的做法是用sprintf直接判断输出结果是不是-0.000再予处理。
典型案例:UVA746
6. 范围越界
这个严格来说不属于精度范畴了，不过凑数还是可以的。请注意，虽然double可以表示的数的范围很大，却不是不穷大，上面说过最大是1e308。所以有些时候你得小心了，比如做连乘的时候，必要的时候要换成对数的和。
典型案例:HDU3558
7. 关于set<T>
有时候我们可能会有这种需求，对浮点数进行 插入、查询是否插入过 的操作。手写hash表是一个方法(hash函数一样要小心设计)，但set不是更方便吗。但set好像是按==来判重的呀？貌似行不通呢。经观察,set不是通过==来判断相等的，是通过<来进行的，具体说来，只要a<b 和 b<a 都不成立，就认为a和b相等，可以发现，
如果将小于定义成: bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}就可以解决问题了。 (基本类型不能重载运算符，所以封装了下)
8. 输入值波动过大
这种情况不常见，不过可以帮助你更熟悉eps。假如一道题输入说，给一个浮点数a, 1e-20 < a < 1e20。那你还敢用1e-8做eps么？合理的做法是把eps按照输入规模缩放到合适大小。
典型案例: HUSTOJ 1361
9. 一些建议
容易产生较大浮点误差的函数有asin、 acos。欢迎尽量使用atan2。
另外，如果数据明确说明是整数，而且范围不大的话，使用int或者long long代替double都是极佳选择，因为就不存在浮点误差了(尽管我几乎从来都只用double --!)
