AtCoder ABC 156E Roaming

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc156/tasks/abc156_e

题目大意

　　有$N$间房，初始每个房间有一个人，记一个人从一间房移动到另一间房为一次移动，现在已知进行了$K$次移动，问$N$间房人数的分布情况有多少种可能？

分析

　　设$Z(i), 0 \leq i \leq min(K, N - 1)$为正好有$i$间空房的分布情况的种数。

　　则$ans = \displaystyle \sum_{i=0}^{min(K, N - 1)} Z(i)$。

　　利用隔板法可以得出空房间出来的人分配到非空的房间有多少种可能情况。

　　于是可以得出$Z(i) = \binom{N}{i} * \binom{N - 1}{i}$。

　　又因为$K \geq 2$，所以所有$Z(i)$种情况都是可以实现的。(可以自己摆弄摆弄，如果$K = 1$的话，$Z(0)$就应该为$0$，就要分情况讨论了)

　　于是$ans = \displaystyle \sum_{i=0}^{min(K, N - 1)} (\binom{N}{i} * \binom{N - 1}{i})$。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*-------------------Define Start-------------------*/
typedef bool BL;                        // 布尔类型
typedef char SB;                        // 有符号1字节,8位
typedef unsigned char UB;                // 无符号1字节,8位
typedef short SW;                        // 有符号短整型,16位
typedef unsigned short UW;                // 无符号短整型,16位
typedef long SDW;                        // 有符号整型,32位
typedef unsigned long UDW;               // 无符号整型,32位
typedef long long SLL;                    // 有符号长整型,64位
typedef unsigned long long ULL;            // 无符号长整型,64位
typedef char CH;                        // 单个字符
typedef float R32;                        // 单精度浮点数
typedef double R64;                        // 双精度浮点数

#define Rep(i, n) for (register SDW i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i, s, t) for (register SDW i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i, t, s) for (register SDW i = (t); i >= (s); --i)
#define foreach(i, c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,0x7f,sizeof(a))
#define LOWBIT(x) ((x)&(-x))

#define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second
#define ALL(x) x.begin(),x.end()

#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl

const ULL mod = 1e9 + 7;                //常用模数(可根据题目需要修改)
const ULL inf = 0x7fffffff;                //用来表示无限大
const ULL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;    //用来表示无限大
/*-------------------Define End-------------------*/

const UDW maxN = 2e5 + 7;
SLL N, K;
SLL ans;

SLL fac[maxN];
void init_fact() {
    fac[0] = 1;
    For(i, 1, maxN - 1) {
        fac[i] = (i * fac[i - 1]) % mod;
    }
}

void input(){
    cin >> N >> K;
    init_fact();
}

//ax + by = gcd(a, b) = d
// 扩展欧几里德算法
/**
 *    a*x + b*y = 1
 *    如果ab互质，有解
 *    x就是a关于b的逆元
 *    y就是b关于a的逆元
 *     
 *    证明： 
 *        a*x % b + b*y % b = 1 % b
 *        a*x % b = 1 % b
 *        a*x = 1 (mod b)
 */
inline void ex_gcd(SLL a, SLL b, SLL &x, SLL &y, SLL &d){
    if(!b) {
        d = a, x = 1, y = 0;
    }
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}

// 求a关于p的逆元，如果不存在，返回-1 
// a与p互质，逆元才存在 
inline SLL inv_mod(SLL a, SLL p = mod){
    SLL d, x, y;
    ex_gcd(a, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

inline SLL comb_mod(SLL m, SLL n) {
    SLL ret;

    if(m > n) {
        swap(m, n);
    } 
    
    ret = (fac[n] * inv_mod(fac[m], mod)) % mod;
    ret = (ret * inv_mod(fac[n - m], mod)) % mod;
    
    return ret;
}

void solve(){
    For(i, 0, min(K, N - 1)) {
        ans = (ans + comb_mod(i, N) * comb_mod(i, N - 1)) % mod;
    }
}

void output(){
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    input();
    solve();
    output();
    return 0;
}