贝塞尔曲线

    对给定的 n+1 个点，可以作出 n 阶的贝塞尔曲线。其中最前和最后这两个点在曲线上，其余 n-1 个中间点是控制点，主要用于控制曲线的形状，不一定在曲线上。
    假如给定的 n+1 个点是 (x0,y0),...,(xn,yn), 以 t 作为参数，则生成的曲线上的所有点可以表示如下：
       n
  x =  ∑ C(n,i) *t^i *(1-t)^(n-i) *xi
      i=0

       n
  y =  ∑ C(n,i) *t^i *(1-t)^(n-i) *yi
      i=0
    其中 x,y 分别是生成的曲线上的点的 横坐标 和 纵坐标。
    t 是参数，其有效范围是 [0，1]。
    C(n,i)就是组合数，比如 C(3,1) = 3。


实用 3 阶贝塞尔曲线：
    实际应用中，常用 3 阶的贝塞尔曲线，也就是要对 4 个点进行计算。
设 已知 的4点为 p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3),其中 0 和 3 是端点， 1，2是控制点，则 该曲线上的所有点表示为：
  x = (1-t)^3 *x0 + 3*t*(1-t)^2 *x1 + 3*t^2*(1-t) *x2 + t^3 *x3
  y = (1-t)^3 *y0 + 3*t*(1-t)^2 *y1 + 3*t^2*(1-t) *y2 + t^3 *y3
  其中 0 <= t <= 1.


直接的简单实现：
    按照公式，对每个t，代入式子就可以得到曲线上对应点的坐标了。当然具体实现时，可根据适当的间隔取  t 值，然后用直线将这些值对应的点连起来就是了。
    类似于多项式的计算，在计算机上计算的时候，可以用 德卡斯特里奥算法 来求出，而不必直接计算高次幂。
设四个控制顶点是p0,p1,p2,p3，对每个具体的 t,可以做出下面的表：
p00
p10  p11
p20  p21  p22
p30  p31  p32  p33

其中：
p00 = p0
p10 = p1
p20 = p2
p30 = p3

p11 = p00*(1-t) + p10*t
p21 = p10*(1-t) + p20*t
p31 = p20*(1-t) + p30*t

p22 = p11*(1-t) + p21*t
p32 = p21*(1-t) + p31*t

p33 = p22*(1-t) + p32*t
通过验证可以知道，p33就是要求的值。

代码略。


简单实现遇到的问题：
    上面说的简单实现，t 的间距不好确定。因为曲线的形状可能千奇百怪，间隔太大则误差太大，太小的话则效率太低，难以确定一个对所有情况都合适的间隔值。而在实际应用中，则是用 递归 的方法来解决这个问题的。


实际中的递归处理：
    回头看上面求值的那个算法，当取 t=1/2 时， t = 1-t = 1/2，计算过程可以简化如下：
p00
p10  p11
p20  p21  p22
p30  p31  p32  p33
其中：
pi0跟上面一样，分别就是那4个输入点p0,p1,p2,p3
pij = [ p(i-1)(j-1) + p(i-1)j ] / 2    (简化的就是这个计算过程)

显然，p33就是 t=1/2 时所对应曲线上的点。
而且，
    如果以p00,p11,p22,p33为4个新的输入点，生成新的3阶贝塞尔曲线，则该曲线跟原来p0~p3生成的曲线在t∈[0，1/2]的部分“完全重合”。
    如果以p33,p32,p31,p30为4个新的输入点，生成新的3阶贝塞尔曲线，则该曲线跟原来p0~p3生成的曲线在t∈[1/2，1]的部分“完全重合”。
这里注意新输入点的输入顺序。

    上面漏了说贝塞尔曲线跟输入点的一个关系，就是贝塞尔曲线总是处在 输入点的凸包 内。那么可以得知，曲线上的点到 线段p0p3（就是两个端点） 的距离不大于 max(p1到p0p3的距离， p2到p0p3的距离)。
    而采用 德卡斯特里奥算法，取t=1/2 所求出来的中间点pij，其实就是 p(i-1)(j-1),pi(j-1) 的中点。比划一下也可以看出，中间点全部都在 p00,p10,p20,p30的凸包里面，也就是 p00,p11,p22,p33所形成的凸包 和 p33,p32,p21,p30的凸包也被包含在 p0,p1,p2,p3 的凸包里面。

综上所述：
    p00,p11,p22,p33 和 p33,p32,p31,p30 所生成的曲线拼起来，就是p0,p1,p2,p3生成的曲线。
    对p0,p1,p2,p3，用线段 p0p3 代替 生成的曲线，并以曲线上的点到线段的最大距离为误差，则 p00,p11,p22,p33 和 p33,p32,p31,p30的误差比 p0,p1,p2,p3 的要小。

所以，得到的递归生成曲线步骤如下：
1、
    对 p0,p1,p2,p3 4个点，先检查 
     max( d(p1, p0p3), d(p2, p0p3) ) < E （d()是点到直线距离，E是给定的误差范围，表示p0,p2,p3,p3的凸包的边跟生成曲线的最大差距。） 
    是否成立。
    如果 满足 条件，则简单用线段 p0p3 代替生成的曲线，返回。
    如果不满足，继续。

2、
    对 p0,p1,p2,p3 4个点，进行 t=1/2 的德卡里奥算法。
    对得到的 p00,p11,p22,p33，递归进行步骤 1 的操作；
    对得到的 p33,p32,p31,p30，递归进行步骤 1 的操作。
    返回。