斯坦福凸优化课程Video2.3_

斯坦福凸优化课程Video2-3

凸集合的变换

交运算

凸集合的交集同样是凸集合

我们可以从一个例子来讨论这个问题。

这样的一个集合是不是凸的集合呢？

可以看到，方程拥有和两个限制。并且是拥有m个未知数。
为了更好的理解这个问题，我们先讨论两个未知数的情况。这样更加的直观

我们画出x1和x2的两条曲线，是这样的：

让他们的和小于1，并且让t取值会得到这样的曲线。

显然这也是凸的，但是这只是个形象的例子，为了让大家理解，真正的证明十分复杂。

Affine function 仿射函数

其实就是线性函数，也叫映射函数。
我们首先看看定义：

这是一个线性的映射，X乘以一个数，再加上一个数，我们有定义说，经过仿射函数变换的凸集合还是凸集合。

用数学表述上面的话时这样的

他的逆映射同样时凸的：

再这个定理下，我们可以推出缩放，转制，和投影等集合的操作都不会改变集合的凸性。

仿射函数的例子

我们看这样的变换会有更深刻的理解。
在这个函数下，图片会产生这样的变化：

当然这个集合并不是一个凸集合，我们这样画只是让大家看清楚。

推广不等式

真锥的定义，一个凸集K要满足如下的条件可称为真锥：

• K是闭集
• k是实心的，就是说有一定的面积
• 可点的，就是他不包括任何一条直线

例子：
比如是这个方程描述的，非负区域

或者正有限锥:

通用的不等式

借助真锥的定义，我们可以进行真锥的普适的定义，如下：

这个方程表示，如果有上述方程，那么说明x-y是在真锥中的。

还有这样的严格的不等关系：

他的一般的使用情况是这样的：
分支不等式：
还有矩阵不等式：

使用这个记号主要是用来拓展不等号。

和平常不同的地方

我们可以看到这个符号并不能比较所有的向量，有的时候两个都是错的，我们举个例子来说。

最小元素

先看一个例子：

在例子中x1是S1的最小元素，

为什么呢？

我们用前面的表示方法，可以这样定义最小元素。

就是所有的维度都最小的元素是最小元素。