数列的极限 性质（二）

收敛数列的性质

唯一性

 

 

 

 

 

 

 有界性

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

无界数列必发散，

有界不一定收敛。

 

 

保号性

 

 

 

不等式性质一

假如有数列{an}收敛于a,{bn}收敛于b，

如果存在n0∈N，当n>n0时，有an>=bn

则a>=b;

反证：

假如an>=bn,且a<b

则有几何直观

 

 若a<b，取ε=（b-a）/2

则一定存在nε>n0,当n>n0时有|an-a|<=(（b-a）/2),|bn-b|<=(（b-a）/2);

所以有-(（b-a）/2)<an-a<(（b-a）/2),-(（b-a）/2)<bn-b<(（b-a）/2);

an<(b+a)/2,b>(b+a)/2;

所以an<bn与已知条件矛盾，所以b不可能大于a

但不能是an>bn则a>b,

因为:若an=1/n ,bn=-(1/n)

有1/n>-(1/n)(n>1)

而lim（1/n,n,inf)=0 =lim（-(1/n),n,inf)

a=b=0原式不成立。

 

不等式性质二

若数列{an}，lim(an)=a>0

则存在n0∈N，当n>n0时，有an>0

 

收敛数列与子数列的关系（列紧性）

任意有界数列，一定有在收敛的子列

证：设{an}有界，即an∈[c,d]

=>在[c,(c+d)/2],[(c+d)/2,d]

中至少有一个包含{an}中无穷多项

记作[c1,d1]，选an1∈[c1,d1]

一直重复上述步骤；

 小技巧

想证明一个数列无极限，只要证明它的任意两个子数列极限不同或任意一个子数列无极限即可