AT_joisc2012_constellation 星座

题目分析#

这道题的本质就是将所有点划分为两个生成树，求可能的方案数。

part 1 求凸包的答案#

我们可以考虑先求一个整体的凸包，如下图：
图1：凸包
其中红色的点为星座 $A$ ，蓝色的点为星座 $B$ ，黑色的点不确定。
先考虑凸包上的点，对于凸包上的点，当存在红蓝红蓝两组相间的情况时一定无解，因为他们无法通过内部连接，也无法通过凸包上连接。如下所示：

外部无法连接。

内部同样无法连接。
而其他情况都是有解的。（可以自行画一下）
然后我们来考虑怎么求答案，发现只有没相间和有一个相间的情况，开始分类讨论：

当没有相间时，对于凸包上的被夹在确定星座中间不确定星座的点，设他们的个数为 $d$ ，我们发现他们的贡献是 $\frac{d \times (d + 1)}{2}$ 。
配个图各位可以自己推以下：
当有一个相间时，对于凸包上被夹在确定的不同的星座中间的点，设他们的个数为 $d$ ，我们发现他们的贡献是 $d + 1$ 。这里不能创造交叉的情况，所以贡献是这个。
同样配个图感受以下:

part 2 求内部答案#

凸包上的情况讨论完后，我们就可以来讨论内部的情况了。
先说结论：无论怎么安排，内部都不会有影响。
其实感性理解就是我们总可以给内部的点留出一线生机连到凸包上。
理想的证明就是可以随便找一个点作为中心，然后将凸包上的点连上它，就可以划分出多个三角形。
如果凸包上的点星座不同不用讨论，在上面求凸包时讨论过了，有解，如果三角形三个点星座相同肯定符合情况有解，如果三角形凸包上的点和内部的点不同再讨论一下。
如果内部有点可以再将一个三角形划分为三个三角形，有点就重复再划分，如果里面没有点了，可以发现是可以分开的，有解，如果三个点颜色相同就同上直接结束。
~~我的评价是：不如画图感性理解。~~
给个图大家画着玩玩吧。

于是我们就可以发现对于每一个不确定的点把答案乘 $2$ 就行。
注意只有一种星座的要减一。