[NOIP2018 提高组] 保卫王国
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DP的集大成者
倍增：\(O((n+m)\ log\ n)\)
首先，这道题最原始的问题是经典的最大独立集问题。没有上司的舞会：
设\(dp(u,0)\)代表节点\(u\)没被选上，\(dp(u,1)\)代表结点\(u\)被选上。
时间复杂度为\(O(n)\)；
对于本题的\(44pts\)，我们只需要每次暴力修改点值，然后跑一遍最大独立集的模板，便能够轻松获得了。
接下来，我们先将问题简单化。
我们可以先考虑每次修改一个点的时候该怎么做；
容易看到，对于以该点（不妨设为\(u\)）为根的子树，给定的输入状态（指令：选还是不选，不妨设为\(state\)）对应的dp值就是这棵子树的答案。换句话说，对于整棵子树，我们不需要重复计算它们的dp值。我们只需要将\(dp(u,state)\)作为答案。
那么，对于点\(u\)的父节点如何统计它们对答案的贡献啊？
二次扫描与换根
我们考虑以下方法：
- 定义两个数组\(dp1(u,0/1)\)和\(dp2(u,0/1)\)分别代表以\(u\)为根的子树最小值和整棵树中扔掉以\(u\)为根的这棵子树剩下的部分最小值（即不考虑以\(u\)为根的这棵子树计算得来的答案，注意\(0\ or\ 1\)指的是\(u\)选不选，但不计算\(u\)的答案）；
- 转移：这里只举一例：\(dp2(u,0)=dp2(fa_u,1)+dp1(fa_u,1)-min(dp1(u,0),dp1(u,1))\)
- 更新的时候，由于单次修改对后面没有影响，我们只需要将操作状态对应的dp值输出。
现在，我们拓展（回到原问题上来）——每次修改两个点的状态，该怎么办。
类比于刚刚怎么做。
如果\(u\)和\(v\)重合，那么不难发现，这就是上一个问题。
那么，对于被修改不重合的两个点\(u\)和\(v\)，\(u\)、\(v\)和\(path(u,v)\)（\(u\)到\(v\)的简单路径所构成的点集）可以看作是一个“广义节点”，类比于刚才的做法。
由此，我们有以下的做法：
将这些点聚合成一个“广义节点”，外部按照上述做法解决，内部单独搞独立集。
那么“广义节点”包括哪些？是单纯将\(path(u,v)\)当成“广义节点”，还是将路径上牵出来的子树也囊括其中？
选择后者。
这是因为前者求解这些子树时依赖于路径上的每一个点的选取状态，而想要求解最小值只能枚举。
问题1
我们先考虑——树退化为一条链的情况：\(u\)和\(v\)是链上的两个端点。按照之前的做法，直接将所有\(u\)和\(v\)路径上的点全部缩掉。值得欢庆的是，这条路径上没有子树。
整体而言，我们对于“广义节点”外的结点跑最大独立集，对内再来一个独立集。
详细地讲，我们在求解“广义节点”的内部独立集问题时，必须和外面“绝缘”。换言之，我们求解内部独立集的时候，把它当做一个独立的链来统计。
不难想到，这样做的复杂度是\(O(n)\)的，效率极低。由此，我们不妨使用倍增的思想处理 内部矛盾。
不妨定义\(dp(u,i,0/1,0/1)\)代表从\(u\)到\(2^i\)级祖先的最小值。
按照正常的倍增做法去做。然后对于一条链而言，我们按二进制把它拆开来，一段一段当作求独立集时一个个结点维护即可。
问题2
我们再考虑，当\(u\)是\(v\)的祖先时的情况。
可以看到，在这个问题里面，与上一个子问题唯一有差异的地儿是：“广义节点”路径上是有子树的。由此，在初始化时我们要算上子树的权值。（具体实现细节，可以认真思考）。
void dp_prework()
{
FOR(i, 2, n)
{
int fa = F[i][0];
dp[i][0][0][1] = dp1[fa][1] - min(dp1[i][0], dp1[i][1]);
dp[i][0][1][0] = dp1[fa][0] - dp1[i][1];
dp[i][0][1][1] = dp1[fa][1] - min(dp1[i][0], dp1[i][1]);
}
FOR(j, 1, t)
{
FOR(i, 1, n)
{
int anc = F[i][j - 1];// anc -> ancestor
dp[i][j][0][0] = min(dp[i][j - 1][0][0] + dp[anc][j - 1][0][0], dp[i][j - 1][0][1] + dp[anc][j - 1][1][0]);
dp[i][j][0][1] = min(dp[i][j - 1][0][0] + dp[anc][j - 1][0][1], dp[i][j - 1][0][1] + dp[anc][j - 1][1][1]);
dp[i][j][1][0] = min(dp[i][j - 1][1][0] + dp[anc][j - 1][0][0], dp[i][j - 1][1][1] + dp[anc][j - 1][1][0]);
dp[i][j][1][1] = min(dp[i][j - 1][1][0] + dp[anc][j - 1][0][1], dp[i][j - 1][1][1] + dp[anc][j - 1][1][1]);
}
}
return;
}
最后的问题
最后，我们将直接面对最一般的情况，即当不存在一个节点是另一个节点的祖先时，我们该如何处理。
先抓住两点的最近公共祖先（记作\(lca\)）。我们不难观察到，倘若\(lca\)选取状态确定了，那么这就相当于跑了两遍的“问题\(2\)”（\(u\)到\(lca\)和\(v\)到\(lca\)）再加上\(lca\)上面的一大团东西。
可是问题是\(lca\)选取状态不确定。没关系，我们就枚举它的“选取状态”，分别对于每种选取状态进行求解更新。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#define PII pair <int, int>
#define MP make_pair
#define RE register
#define CLR(x, y) memset(x,y,sizeof x)
#define FOR(i, x, y) for(RE int i=x;i<=y;++i)
#define ROF(i, x, y) for(RE int i=x;i>=y;--i)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const LL INF = 1e12;
template <class T> void read(T &x)
{
bool mark = false;
char ch = getchar();
for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') mark = true;
for(x = 0; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
if(mark) x = -x;
}
map <PII, bool> table;
vector <int> G[MAXN];
int n, m, t;
int F[MAXN][30] = {}, dep[MAXN] = {};
// F[u,i] -> u的2^i级祖先 dep[u] -> u到根节点的深度 T[u] -> u到根节点的距离的log值
LL dp1[MAXN][2] = {}, dp2[MAXN][2] = {}, dp[MAXN][30][2][2] = {}, p[MAXN] = {};
// dp1[u][0/1] -> 在u子树中, 不选/选 u的最小值 dp2[u][0/1] -> 在整棵树除了u子树中, 不选/选 u的最小值
// 倍增预处理
void BFS()
{
int hh = 0, tt = 0, q[MAXN] = {};
int u, v;
dep[1] = 1, q[tt ++] = 1;
while(hh < tt)
{
u = q[hh ++];
for(RE int i = 0; i < G[u].size(); ++ i)
{
v = G[u][i];
if(dep[v]) continue;
dep[v] = dep[u] + 1, F[v][0] = u;
FOR(i, 1, t) F[v][i] = F[F[v][i - 1]][i - 1];
q[tt ++] = v;
}
}
return;
}
// the prework of dp1[u, 0/1]
void dfs_dp1(int u)
{
dp1[u][0] = 0, dp1[u][1] = p[u];
for(RE int i = 0; i < G[u].size(); ++ i)
{
int v = G[u][i];
if(v == F[u][0]) continue;
dfs_dp1(v);
dp1[u][0] += dp1[v][1], dp1[u][1] += min(dp1[v][0], dp1[v][1]);
}
return;
}
// the prework of dp2[u, 0/1]
void dfs_dp2(int u)// @
{
int v;
for(RE int i = 0; i < G[u].size(); ++ i)
{
v = G[u][i];
if(v == F[u][0]) continue;
dp2[v][0] = dp2[u][1] + dp1[u][1] - min(dp1[v][0], dp1[v][1]);
dp2[v][1] = min(dp2[v][0], dp2[u][0] + dp1[u][0] - dp1[v][1]);
dfs_dp2(v);
}
return;
}
// the prework of all of those dp arrays
void dp_prework()
{
dfs_dp1(1), dfs_dp2(1);
FOR(i, 1, n)
FOR(j, 0, t)
FOR(x, 0, 1)
FOR(y, 0, 1) dp[i][j][x][y] = INF;
FOR(i, 2, n)
{
int fa = F[i][0];
dp[i][0][0][1] = dp1[fa][1] - min(dp1[i][0], dp1[i][1]);
dp[i][0][1][0] = dp1[fa][0] - dp1[i][1];
dp[i][0][1][1] = dp1[fa][1] - min(dp1[i][0], dp1[i][1]);
}
FOR(j, 1, t)
{
FOR(i, 1, n)
{
int anc = F[i][j - 1];// anc -> ancestor
dp[i][j][0][0] = min(dp[i][j - 1][0][0] + dp[anc][j - 1][0][0], dp[i][j - 1][0][1] + dp[anc][j - 1][1][0]);
dp[i][j][0][1] = min(dp[i][j - 1][0][0] + dp[anc][j - 1][0][1], dp[i][j - 1][0][1] + dp[anc][j - 1][1][1]);
dp[i][j][1][0] = min(dp[i][j - 1][1][0] + dp[anc][j - 1][0][0], dp[i][j - 1][1][1] + dp[anc][j - 1][1][0]);
dp[i][j][1][1] = min(dp[i][j - 1][1][0] + dp[anc][j - 1][0][1], dp[i][j - 1][1][1] + dp[anc][j - 1][1][1]);
}
}
return;
}
LL solve(int u, bool opt1, int v, bool opt2)
{
if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v), swap(opt1, opt2);
LL flca[2], fu[2] = {INF, INF}, fv[2] = {INF, INF}, new_fu[2] = {INF, INF}, new_fv[2] = {INF, INF};
fu[opt1] = dp1[u][opt1], fv[opt2] = dp1[v][opt2];
ROF(i, t, 0)
{
if(dep[F[v][i]] >= dep[u])
{
new_fv[0] = new_fv[1] = INF;
FOR(x, 0, 1)
FOR(y, 0, 1)
new_fv[x] = min(new_fv[x], fv[y] + dp[v][i][y][x]);
FOR(x, 0, 1) fv[x] = new_fv[x];
v = F[v][i];
}
}
if(u == v) return fv[opt1] + dp2[u][opt1];
ROF(i, t, 0)
{
if(F[u][i] != F[v][i])
{
new_fu[0] = new_fu[1] = new_fv[0] = new_fv[1] = INF;
FOR(x, 0, 1)
FOR(y, 0, 1)
new_fv[x] = min(new_fv[x], fv[y] + dp[v][i][y][x]), new_fu[x] = min(new_fu[x], fu[y] + dp[u][i][y][x]);
FOR(x, 0, 1) fu[x] = new_fu[x], fv[x] = new_fv[x];
u = F[u][i], v = F[v][i];
}
}
int lca = F[u][0];
flca[0] = dp2[lca][0] + dp1[lca][0] - dp1[u][1] - dp1[v][1] + fu[1] + fv[1];
flca[1] = dp2[lca][1] + dp1[lca][1] - min(dp1[u][0], dp1[u][1]) - min(dp1[v][0], dp1[v][1]) + min(fu[0], fu[1]) + min(fv[0], fv[1]);
return min(flca[0], flca[1]);
}
signed main()
{
read(n), read(m);
char type[10];
cin >> type;
t = log(n) / log(2) + 1;
FOR(i, 1, n) read(p[i]), G[i].clear();
int a, x, b, y;
FOR(i, 2, n)
{
read(x), read(y);
G[x].push_back(y), G[y].push_back(x);
table[MP(x, y)] = table[MP(y, x)] = true;
}
BFS(), dp_prework();
FOR(i, 1, m)
{
read(a), read(x), read(b), read(y);
if(!x && !y && table.find(MP(a, b)) != table.end()) puts("-1");
else printf("%lld\n", solve(a, x, b, y));
}
return 0;
}
