KMP模板推导

两串匹配问题

假设我们有两个长度分别为 $n,m$ 的串 $s,t$。我们现在要找出 $t$ 在 $s$ 中所有出现位置的左端点下标。

枚举左端点暴力匹配的复杂度最坏是 $O(nm)$，用单一字母可以构造出数据。

但是我们发现，对于前面的匹配区间，后面的匹配区间和它可能有两种关系：

1. 无交
   两者求解独立，同时不影响复杂度。
2. 有交
   相交部分对于前面的区间是个后缀，对于后面的区间是个前缀。
   但是这前、后两个区间都是能和 $t$ 串匹配的。
   所以相交部分就是 $t$ 的一个 $\text{border}$。

所以我们现在就要知道一些 $\text{border}$ 的性质，来方便维护这个东西。

关于 $\text{border}$ 的性质以及具体匹配方法

关于 $\text{border}$ 有个显然的性质

对于一个串，它 $\text{border}$ 的 $\text{border}$ 也是它的 $\text{border}$。

假设我们在 $s[l,r]$ 的位置和 $t$ 产生了一次成功的匹配。

由于后面的匹配区间和 $s[l,r]$ 的交必定是 $s[l,r]$ 的一个 $\text{border}$。
但是这个 $\text{border}$ 不一定是最大的那个。
为了方便处理，我们考虑先将当前变成最大的那个 $\text{border}$，然后逐渐变小来判断合法性。

现在问题是怎么维护。考虑维护一个最大 $j$，使得 $s[r-j+1,r]=t[1,j]$。每次将 $r$ 这个右端点往右移动，
相对应的为了满足条件，我们会尝试不断地让 $t[1,j]$ 变成其最大 $\text{border}$，使得其下一个字符能匹配上，

当 $t$ 整个串再一次都匹配上时，就重复这个过程。

现在问题就只在于，怎么对每个 $t$ 的前缀，预处理出其最长 $\text{border}$。

求 $t$ 每个前缀的最长 $\text{border}$

我们记要求解的东西——所有 $t[1,i]$ 的最长 $\text{border}$ 长度为 $nx{t}_i$。

一个对 $nxt$ 数组的理解：$nx{t}_i$ 表示的不只是 $t[1,i]$ 的最长 $\text{border}$，也是在当前无法匹配第 $i+1$ 个位置时的失配指针。

我们考虑增量法求解。每次利用前面的信息处理 $nx{t}_{i+1}$。
具体的，在尾部加入一个字符后，可能会有一些原本是 $\text{border}$ 的对应串现在仍是 $t[1,j]$ 往后加一个字符后的 $\text{border}$，也有一些不再是当前位置往后的 $\text{border}$。

故而我们利用已有的所有 $nxt$ 信息，从大到小访问所有 $\text{border}$，并且找到最大的合法 $\text{border}$ 并记录。

复杂度

空间复杂度 $O(n+m)$。

时间复杂度，考虑每次右端点往右移动 $1$，维护的 $j$ 最多加 $1$。
而每次跳 $\text{border}$ 的时候 $j$ 至少减 $1$。
故而均摊时间复杂度为 $O(n+m)$。