PKUWC2025 Day1 T2

来抛砖引玉一波。

先声明：我的做法基于维护的数据结构不同是 $O(n{\log }^3(n+m)+m{\log }^2(n+m))$ 或者 $O(n\sqrt{n}\log n+m\sqrt{n})$。

我的思路大致就是：按照 $x$ 从小到大处理所有询问。

记 $p_i$ 为当前 $i$ 号点的 $x$ 级祖先。

然后考虑如何维护区间内的不同的 $p_i$ 数目。一种方法是数颜色，另一种就是用 $pr{e}_i$ 表示所有和 $i$ 相同深度的节点中，第 $i$ 个位之前，上一个 $p$ 的值等于 $p_i$ 的位置出现在哪。

容易注意到，这个东西的变化量是小常数 $O(n\log n)$ 级别的，证明就是 $\text{DSU on Tree}$ 的过程——即每次合并的过程中最多只会修改两个 $pr{e}_i$ 的值。

然后我们的模型就转化成了：

• $n\log n$ 次单点修改权值
• $m$ 次区间查询小于特定值的数个数

这个东西就是一个动态二维数点，等价于静态三维数点。

可以用 $\text{CDQ}$ 分治解决，或者用分块。

分块做法的话似乎是 LOJ6278 的弱化版