整除分块入门

整除分块是数论中的一个技巧，个人认为最好的理解方法是根据板题/例题解释。下面直接放了三道例题。

例1

UVA11526 H(n)。

题意

求 $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 。

这道题的 $n$ 是 $int$ 范围内的非负数。

举个例子， $n=15$ ，给个直观一点的表：

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$	$15$	$7$	$5$	$3$	$3$	$2$	$2$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

把下面的所有的 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 相加即答案。

思路

假设当前贡献值的左边界为 $l$ ，并且假设对于左边界 $l$ 存在一个右边界 $r$ 。

那么能得到：$$\lfloor \frac{n}{l}\rfloor =\lfloor \frac{n}{l+1}\rfloor =\lfloor \frac{n}{l+2}\rfloor =...=\lfloor \frac{n}{l+k}\rfloor =...=\lfloor \frac{n}{r-1}\rfloor =\lfloor \frac{n}{r}\rfloor$$ 如果是暴力的话，这些同样的值就要加 $r-l+1$ 遍，稳稳的 $TLE$ 。

所以我们考虑能不能通过确定了 $l$ 求出 $r$ ，然后拿区间长度 $r-l+1$ 乘上一个 $\lfloor \frac{n}{l}\rfloor$。

所以我们通过向下取整的性质得出：$$\lfloor \frac{n}{l}\rfloor \le \frac{n}{r}$$ 根据不等式的性质可得：$$r\le \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$$

$$r_{max}=\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$$

然后每次当前的 $l$ 等于上一次的 $r$ 加 $1$ 即可。

时间复杂度

$O(\sqrt{n})$ 。

因为 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 这玩意儿的集合大小最多为 $2\sqrt{n}$ 。

分情况讨论， $i\le \sqrt{n}$ 时集合大小最大为 $\sqrt{n}$ ， $\sqrt{n}<i\le n$ 时最大为 $\sqrt{n}$ 。

第一种 $i$ 最多只有 $\sqrt{n}$ 个；第二种是因为考虑 $n/i<=\sqrt{n}$ ，所以最多也只有 $\sqrt{n}$ 个。

而集合里每个元素对时间复杂度的贡献是是 $O(1)$ 。

所以接下来的东西就显而易见了。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define L(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define R(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
int T, n; ll ans;
int main(){
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n), ans = 0;
        for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1){
            r = n / (n / l);
            ans += (r - l + 1) * (n / l);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    } 
    return 0;
}

例2

洛谷P2424。

思路

每个正整数 $i$ 在 $1$ 到 $n$ 中作为因子出现的次数为 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 。所以问题转换成了求 $\sum _{i=1}^{n}i\ast \lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 。

那么对于 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 相同的，利用等差数列求和对 $l$ 到 $r$ 求和即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll h(const ll n){
    ll ans = 0;
    for(register ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1){
        r = n / (n / l);
        ans += (l + r) * (r - l + 1) / 2 * (n / l);
    }
    return ans; 
}
int main(){
    ll l, r;
    scanf("%lld%lld", &l, &r);
    printf("%lld\n", h(r) - h(l - 1));
    return 0;
}

习题1

洛谷P2261。