KM 算法

二分图的最大权完美匹配

不妨先看一些定义：

顶标

全称为“顶点标记值”。记左部点 $i$ 的顶标为 $l x_{i}$ ，右部点 $j$ 的顶标为 $l y_{j}$ ，那么要求顶标要满足 $l x_{i} + l y_{j} \geq w (i, j)$ ，其中 $w (i, j)$ 表示 $i$ 到 $j$ 那条边的边权。
相等子图

即原图中满足 $l x_{i} + l y_{j} = w (i, j)$ 的边构成的子图。
- 结论：若相等子图中存在完美匹配，则这个完美匹配就是二分图的带权最大完美匹配。
- 证明：完美匹配的边权和为 $(\sum_{i = 1}^{n} l x_{i}) + (\sum_{i = 1}^{n} l y_{i})$ 。由于 $\forall i, j$ ， $l x_{i} + l y_{j} \geq w (i, j)$ ，故而整张二分图中，不存在有其他匹配的边权值和大于当前匹配的边权之和。

我们利用上述结论，成功的把问题转换为了：求一组合适的顶标，使得相等子图存在完美匹配。

有一种做法就是对于每一个 $i$ ，调整顶标使得有新边加入以达到能在相等子图里找到增广路、匹配的目的。若每一个 $i$ 都在上一个的基础上执行了这样的操作，便能得到一种完美匹配的方法。

不妨宏观匈牙利算法来明确一些性质：每次从未匹配边开始，以未匹配边、匹配边交错的形式形成一颗交错树，其中左部节点沿非匹配边访问到右部节点，右部节点沿匹配边找到原来匹配的左部节点。且未找到增广路之前，不会改变已有的匹配。

假设目前的相等子图里找不到增广路了，我们需要一种调整顶标的方法，使得原图中存在的边现在有，且至少一条原来没有的边新图有了。
调整方法：我们还是设左部节点为 $i$ ，右部节点为 $j$ 。之后把所有的所有访问到过的 $l x_{i}$ 加上 $v$ 、 $l y_{j}$ 减去 $v$ 。

进一步转化为如何求一个合适的 $v$ ，使得满足上述条件。

因为左部节点的访问是被动的（即被右部节点沿匹配边访问到），且考虑 $i \notin 交错树, j \notin 交错树$ 没有意义（ $\notin 交错树$ 的顶标都没有变化），所以我们只用考虑 $i \in 交错树$ ，且只用考虑有连边的 $i, j$ 。

分情况来讨论：
- $j \in 交错树$ 。
那么连接两点的这条边显然是匹配边，那么两边一个加 $v$ ，一个减 $v$ ，显然 $a_{i} + b_{j} = w (i, j)$ ，依旧是新相等子图中的边。
- $j \notin 交错树$ 。
在所有访问过的 $l x$ 加 $v$ ， $l y$ 减 $v$ 之后满足顶标的性质—— $l x_{i} + l y_{j} \geq w (i, j)$ ，当且仅当 $v \leq l x_{i} + l y_{j} - w (i, j)$ 。若在所有的 $l x_{i} + l y_{j} - w (i, j)$ 中取最小的值作为 $v$ 的值，那么就能达成“既满足顶标的性质，又能至少有一条边加入新相等子图”。

具体的，有以下步骤：

枚举点 $i$

思想在于不断通过调整顶标加入边以使得 $i$ 能找到匹配。

故重复以下过程直至 $i$ 找到匹配。
- 进行寻找增广路同时获得合适的 $v$ 。
  
  时间复杂度 $O (n + m)$ 。
- 调整顶标。
  
  时间复杂度 $O (n)$ 。

时间复杂度 $O (n (n + m)) = O (n^{2} + n m)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define FR(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 510; const ll INF = 1e17;
int n, m, vis[N], pre[N], match[N];
ll lx[N], ly[N], w[N][N], slack[N];
void aug(int s){
    int p, id = 0, q; ll v; match[0] = s;
    FL(i, 1, n) slack[i] = INF, pre[i] = 0;
    while(match[q]){
        p = match[q = id], vis[q] = 1, v = INF;
        FL(i, 1, n) if(!vis[i]){
            if(slack[i] > lx[p] + ly[i] - w[p][i])
                slack[i] = lx[p] + ly[i] - w[p][i], pre[i] = q;
            if(slack[i] < v) v = slack[id = i];
        }
        FL(i, 0, n){
            if(vis[i]) lx[match[i]] -= v, ly[i] += v;
            else slack[i] -= v;
        }
    }
    for(; q; q = pre[q]) match[q] = match[pre[q]];
}
ll KM(){
    FL(i, 1, n){
        lx[i] = -INF, ly[i] = 0;
        FL(j, 1, n) lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);
    }
    FL(i, 1, n) memset(vis, 0, sizeof(vis)), aug(i);
    ll ret = 0; FL(i, 1, n) ret += lx[i] + ly[i];
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    FL(i, 1, n) FL(j, 1, n) w[i][j] = -INF; 
    FL(i, 1, m){
        int u, v; ll c;
        scanf("%d%d%lld", &u, &v, &c);
        w[u][v] = max(w[u][v], c);
    }
    printf("%lld\n", KM());
    FL(i, 1, n) printf("%d ", match[i]);
    return 0;
}