[ABC107D] Median of Medians

考虑二分答案。于是现在问题转化成了：$S$ 的中位数是否 $\ge x$（$x$ 为二分的值）。

可单纯这样，还没法直接做。继续转化：求出中位数 $\ge x$ 的区间个数。假设我们求出了这个区间个数（设它为 $cnt$），通过数学归纳，不难得出 $S$ 的中位数 $\ge x$ 当且仅当 $\lfloor cnt\ge \frac{(n+1)\times n÷2}{2}\rfloor$。

对于现在的问题，不妨采用一种常见的套路：当所有数与 $x$ 只有大小关系的贡献时，可以把大小满足条件的赋值为 $1$，不满足条件的赋值为 $-1$；在本题中，所有 $<x$ 的位置赋值为 $-1$，所有 $\ge x$ 的位置赋值为 $1$。我们要求的有进一步转化为了：和 $\ge 0$ 的区间个数。

考虑求一个前缀和（记 $1$ 到 $i$ 的和为 $s_i$）。一个 $i$ 作为右端点的某个区间和 $\ge 0$，当且仅当它的左端点 $j$ 满足 $s_j\le s_i$。这是一个二维偏序问题，使用树状数组/线段树求解即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define FR(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 10;
int n, a[N], s[N]; ll num;
struct BIT{
    int n = 0, c[N];
    void clear(){FL(i, 0, n) c[i] = 0;}
    void resize(int t){FL(i, n + 1, t) c[i] = 0; n = t;}
    void add(int x, int v){
        for(; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;
    }
    int ask(int x, int ret = 0){
        for(; x; x -= x & -x) ret += c[x];
        return ret;
    }
} b;
int check(int x){
    ll cnt = 0; b.clear();
    FL(i, 1, n) s[i] = s[i - 1] + (a[i] < x? -1 : 1);
    FL(i, 0, n) cnt += b.ask(s[i]), b.add(s[i], 1);
    return (cnt << 1) >= num;
}
int main(){
    scanf("%d", &n), num = 1ll * (s[0] = n + 1) * n >> 1;
    FL(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
    int l = 0, r = 1e9, ans; b.resize(n << 1 | 1);
    while(l <= r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) l = (ans = mid) + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}