DP套DP

例题

CF578D

这题我们采用 $\text{DP}$ 套 $\text{DP}$ 解决。

首先，我们先考虑 $\text{DP}$ 求 $\text{LCS}$ 的过程。

F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i][j-1],F[i-1][j-1]+(S[i]==T[j]);

有结论：$F_{i,j} \le \min(i,j)$。

我们注意到最终要求 $\text{LCS}=n-1$，且有此结论，那么 $|i-j| \ge 2$ 就不必考虑了。

我们记内部 $\text{DP}$ 的 $g_{i,j}$ 表示 $T$ 字符串的前 $i$ 个字符与 $S$ 的前 $j$ 个字符的 $\text{LCS}$，那么照着上述求 $\text{LCS}$ 的方法有如下对应的式子：

g[i][j]=max(g[i-1][j],g[i][j-1],g[i-1][j-1]+(T[i]==S[j]));

我们再记外部 $\text{DP}$ 的 $f_{i,a=0/1,b=0/1/2,c=0/1}$ 表示 $\text{T}$ 的前 $i$ 个字符满足如下条件的方案：

• $g_{i,i-1}=i-2+a$。
• $g_{i,i}=i-2+b$。
• $g_{i,i+1}=i-1+c$。

我们可以通过刷表法转移，转移的时候，先还原出 $g$ 数组，再还原出三个下标 $x,y,z$，进行转移 $f_{i,x,y,z}=f_{i,x,y,z}+f_{i,a,b,c}$，时间复杂度 $O(12nm)$。

代码。

CF gym 102759 G

不妨先看一道极为相似的题。题意：给出一个长度为 $n(n \le 15)$ 的字符串 $s$，问有多少场为 $n$ 的字符串 $t$ 和他的 $\text{LCS}$ 恰好为 $len$（$s$ 和 $t$ 都只包含大写字母）。

我们还是和上题一样，考虑 $\text{DP}$ 求 $\text{LCS}$ 的过程。

F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i][j-1],F[i-1][j-1]+(S[i]==T[j]);

有结论：$0 \le F_{i,j} - F_{i,j-1} \le 1$。

那么我们便可以设计出 $\text{DP}$ 套 $\text{DP}$ 的内外层状态：内层不变，外层第一维度 $i$ 不变，后面的变成一个状压的维度，转而记录一整行所有 $g_{i,j}-g_{i,j-1}$，转移同理（第二维也同样是一个长为 $n$ 的 $01$ 串）。

我们再回到当前这题来，我们对于 $|i-j| \le k$ 的状态是合法的，其余的不合法，那么这样的状态共有 $2k+1$ 个，我们不妨把 $\text{LCS}(i,i)$ 单独记，再用一维，记录的是离 $i$ 差几（注意到不超过 $k$）。

[ZJOI2019]麻将

首先，必须先考虑一副牌是否是“胡”的，不然解决这道期望题就是无稽之谈。所以我们可以先把 $7$ 个对子的特殊情况判掉，接下来用 $\text{DP}$ 判断 $1$ 个对子、$4$ 个面子的情况。

用 $f_{i,j,k,t}$ 表示考虑了前 $i$ 种牌，是否已经有对子了（$j=0$ 表示否，$j=1$ 表示是），多余的像 $i,i-1$ 这样的一组牌有 $k$ 组，多余的第 $i$ 种牌有 $t$ 个的情况下，最大产生的面子数量。

接下来来回到这道题。设 $X$ 表示最早产生胡牌的轮数的随机变量，$p(x)$ 表示恰好 $x$ 轮时第一次产生了胡牌的概率。$$ E(X)=\sum_{x=0}^{4n-13} x \times p(x) $$

$$ E(X)=\sum_{x=0}^{4n-13} \sum_{i=0}^{n-1} \times p(x) $$

$$ E(X)=\sum_{i=0}^{4n-13} \sum_{x=i+1}^{4n-13} \times p(x) $$

$$ E(X)=\sum_{i=0}^{4n-13} P(\text{x轮时还没有胡牌的概率}) $$

$$ E(x)=\sum_{i=0}^{4n-13} \frac{\text{x轮时还没有胡牌的方案数}}{C_{4n-13}^i} $$

所以我们的重中之重就是求出 $x$ 轮还没有胡牌的方案数。

我们使用 $\text{DP}$ 套 $\text{DP}$ 解决此问题。我们把上述简易 $\text{DP}$ 的状态和其对应的对子数量作为内层 $\text{DP}$ 状态给压缩起来（注意 $i$ 那维不要压进去，我们将会把那一维单独地放入外层的状态里），我们发现实际有用的状态可能很少，故而用搜索找。那么我们外层的状态就显而易见了：$dp_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 种牌，内层状态为 $j$，总共选了 $k$ 张的方案数。

至于查询没有胡牌的方案数，只需要判断加求和就行了。

CF979E

本题采用 $\text{DP}$ 套 $\text{DP}$。

首先，我们考虑怎么在确定所有点颜色且确定所有连边的情况下算方案数。不难发现可以采用 $\text{DAG}$ 上 $\text{DP}$。

令 $g_i$ 表示以 $i$ 开头的路径数量，那么他可以从所有颜色和他不同的点转移过来。转移顺序的话按照 $\text{DAG}$ 的反图上的拓扑顺序来。

再考虑外层 $\text{DP}$。令 $f_{i,j,k,t}$ 表示以 $i$ 到 $n$ 中，总路径条数的为奇数/偶数（$j=0$ 为奇数，$j=1$ 为偶数），存在/不存在 $g_x \equiv 1 \pmod{2}$ 的黑点（$k=0$ 表示不存在，$k=1$ 则反之），存在/不存在 $g_x \equiv 1 \pmod{2}$ 为奇数的白点（$t=0$ 表示不存在，$t=1$ 则反之）的方案数。

转移的话就很简单，我们枚举可以选的颜色，然后挑选一个其它颜色且 $g_x \equiv 1 \pmod{2}$ 的点用来协调整奇偶性，其它点可以有选/不选两种方案。若没有这样一个点，那么当前点开头路径数的奇偶性只能为奇数（注意当前点本身也算一条路径）。

代码。