矩阵行列式

定义与形式

给定一个大小为 $n \times n$ 的矩阵 $A$ ，则行列式

det (A) = | A | = \sum_{p} (- 1)^{π (p)} \prod A_{i, p_{i}}

其中的 $p$ 是一个 $1 \sim n$ 的排列， $π (p)$ 为排列 $p$ 的逆序对数。

一些性质

对于矩阵 $A$ 来说：

以主对角线为对称轴翻转之后的行列式和 $A$ 的行列式相同。

更加形象的说，就是把所有下标的两维坐标翻转一下，从 $(i, j)$ 变为 $(j, i)$ 。

根据这条性质，在之后的描述中我们认为，矩阵 $A$ 中行具有的性质列也具有（有时候省略的列的读者可自行推导）。
矩阵的行或列具有线性性
1. 乘法情况：即 $A$ 的某一行或某一列乘上 $v$ 之后的行列式等于 $v \times det (A)$ 。
2. 加法情况：即 $A$ 的行列式可以拆成两个矩阵的加和：两个矩阵的第 $i$ 行进行逐位加和之后，等于 $A$ 的第 $i$ 行，两矩阵的其他行和 $A$ 相同。
交换其任意两行或者任意两列之后，行列式的值乘上了 $- 1$ 。

证明：交换列会使得逆序对数的奇偶改变。再由性质 $1$ ，交换行和交换列等价。
有相同两行或两列的矩阵行列式为 $0$ 。

证明： $det (A) = - det (A) = 0$ 。
把 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $v$ 的结果，加到第 $j$ 行上，行列式结果不变（ $i \neq j$ ）。

根据行的线性性，我们可以把结果拆成两个矩阵结果的加和：
1. 原矩阵 $A$
2. 第 $j$ 行等于原来的第 $i$ 行乘 $v$ ，其他行不变的矩阵 $A^{'}$ 。
其中第 $2$ 个矩阵根据线性性可以把第 $j$ 行中的 $v$ 提取出来。这时根据性质 $4$ 可得 $det (A^{'}) = 0$ 。
上三角矩阵的行列式即为对角线元素乘积。

证明：考虑如果 $p$ 不是一个形如 $1, 2, 3, \dots, n$ 的排列，那么必定存在一个位置满足 $p_{i} < i$ ，而这会使得贡献为 $0$ 。

求解方法

有了第 $5, 6$ 条的性质，我们就可以直接使用高斯消元把 $A$ 消成上三角矩阵然后直接计算了。

代码

模板题链接

#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define FR(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); --i)
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int N = 610;
int mod;
namespace Linear{
    int det(int n, int a[][N]){
        int ret = 1;
        FL(i, 1, n){
            FL(j, i + 1, n){
                while(a[i][i]){
                    ll t = a[j][i] / a[i][i];
                    FL(k, i, n) a[j][k] = (a[j][k] + mod - t * a[i][k] % mod) % mod;
                    swap(a[i], a[j]), ret = -ret;
                }
                swap(a[i], a[j]), ret = -ret;
            }
        }
        FL(i, 1, n) ret = (ll)ret * a[i][i] % mod;
        return (ret % mod + mod) % mod;
    }
}
int n, a[N][N];
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &mod);
    FL(i, 1, n) FL(j, 1, n) scanf("%d", &a[i][j]);
    printf("%d\n", Linear::det(n, a));
    return 0;
}