[WC2011] 最大XOR和路径 / CF845G Shortest Path Problem?

原题链接

不妨先了解几个前置知识/引理：

异或的抵消性质：

• $a\oplus a=0$
• $\mathrm{\forall }b[b\ne a],a\oplus b\ne 0$
• $(a\oplus b)\oplus (a\oplus c)=b\oplus c$

引理 $1$：$\mathrm{\forall }u,v\in \text{Tree}$，$u\to v$ 所有路径的边权异或和都等于 $di{s}_u\oplus di{s}_v$（$di{s}_i$ 为节点 $i$ 到根路径上边权的异或和）

上述引理根据异或的抵消性可得。

引理 $2$：对于一般图 $G$，我们任取一颗 $\text{DFS}$ 树。那么图上所有的环都可以用只包含了一条非树边的简单环异或出来。

引理 $3$：对于图上两点间的任意路径（我们只关心边权的异或和），必定可以由 $\text{DFS}$ 树上的树边路径以及图中一些环异或出来。

依旧是利用异或的抵消性质得到。

我们回到题目中。假设输入的图是一棵树，那么直接 $di{s}_1\oplus di{s}_n$ 就做完了。

但输入的可能是一般图——我们任取一颗 $\text{DFS}$ 树，按照上述方法求出 $di{s}_1$ 到 $di{s}_n$。之后考虑那些非树边，每条非树边都必定会与一些树边形成恰好一个简单环。根据引理 $2,3$，我们只需要维护一个支持插入的数据结构，它能选出一个子集，使得子集中的元素异或上 $di{s}_1\oplus di{s}_n$ 最大。发现线性基可以轻松的维护。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define FR(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
struct E{int v; ll w;}; vector<E> e[N];
int n, m, vis[N]; ll dis[N];
struct LinearBasis{
	ll a[65];
	int insert(ll x){
		FR(i, 62, 0) if((x >> i) & 1){
			if(!a[i]){a[i] = x; return 1;}
			else x ^= a[i];
		}
		return 0;
	}
	ll qmin(ll ret = 0){
		FR(i, 62, 0) ret = min(ret, ret ^ a[i]);
		return ret;
	}
} b;
void dfs(int u, int fa){
	vis[u] = 1;
	for(const auto &p: e[u]) if(p.v != fa){
		if(!vis[p.v])
			dis[p.v] = dis[u] ^ p.w, dfs(p.v, u);
		else b.insert(dis[u] ^ dis[p.v] ^ p.w);
	}
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    FL(i, 1, m){
        int u, v; ll w;
		scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
        e[u].emplace_back((E){v, w});
		e[v].emplace_back((E){u, w});
    }
	dfs(1, 0);
	printf("%lld\n", b.qmin(dis[1] ^ dis[n]));
    return 0;
}