CF765E Tree Folding

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题意

给出一颗无根树，你可以钦定一个根，并进行若干次下述操作：

• 选择一个点 $v$，以及 $v$ 延伸出去的两条长度相同的路径（两条路径没有重叠的边）。删去其中任意一条（不删 $v$）。

现在，操作次数、$v$ 以及两条路径都由你决定，但你需要求出，是否可以把这颗无根树删成一条链；假若能，最短的链长是多少。

解题思路

任取一个根，进行一遍 $\text{DFS}$，同时计算每颗子树是否可以合并成一条链/链的长度。

但问题在于如何把节点 $u$ 的所有儿子子树的信息合并为整颗子树的信息。先特判掉部分不合法的情况——有至少一颗子树返回不合法状态。之后考虑在 $u$ 的位置维护一个链长可重集，合并某颗儿子的子树时就直接把链长加进可重集里。

合并完后，我们进行一个分类讨论：

1. 有 $0$ 种不同的链长

   证明这个节点是叶节点，返回 $0$。

2. 只有 $1$ 种链长（设它为 $l$）

   子树合并后的链长为 $l$。

3. 有两种不同的链长

   1. 当前节点不是根节点

      会发现在当前的树最后不可能变成一条链，同时记录一个 $rt2$，$rt2=u$。

   2. 当前节点为根节点

      形成了一条链，返回两种链长相加。

4. 有 $>2$ 种不同的链长

   最终不可能变成一条链。

这样的策略是在钦定了一个根的情况下。假设通过上述流程，最终没法变成一条链，考虑把 $rt2$ 提为根再做一遍。这样便可保证答案正确（假设 $rt2$ 为根还不行，归纳一下便可得这棵树确实不合法）。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define FR(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); i--)
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
unordered_map<int, int> mp[N];
int n, r, ans, rt = 1;
vector<int> e[N];
int dfs(int u, int p){
	unordered_map<int, int>().swap(mp[u]);
	for(int &v: e[u]) if(v != p){
		mp[u][r = dfs(v, u) + 1] = 1;
		if(!r) return -1;
	}
	if(!mp[u].size()) return 0;
	if(mp[u].size() <= 1 + (!p)){
		r = 0; for(auto &it: mp[u]) r += it.first;
		return r;
	}
	rt = u; return -1;
}
int main(){
	scanf("%d", &n);
	FL(i, 2, n){
		int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
		e[u].emplace_back(v), e[v].emplace_back(u);
	}
	dfs(1, 0), ans = dfs(rt, 0);
	printf("%d\n", ans >> __builtin_ctz(ans));
	return 0;
}