顺序统计量

前言

本文内容主要是 寻找最大最小值，寻找第i小值，以及随机函数的改写。在一个大小为n的集合里面，第i个顺序统计量是指该集合中第i小的元素。

寻找最大最小值

普遍算法是遍历数组，设置max和min存储最大最小值。每个元素都与max和min比较，然后分别改变max和min的值(如果需要改变的话)。如此算来该算法需要进行比较的次数为2n次。那么如果想缩短比较的次数该肿么办呢？

假设数组A的长度为奇数，max = min = A[0]，然后A[1]…..A[n-1]一共n-1个（偶数个）元素。每次取两个元素比较，将比较后的较大值与max比较，将较小值与min比较，然后相应的修改max和min值，一共比较三次。按照上面的描述，比较的总次数应该为 3*(n-1)/2。

假设数组A的长度为偶数，比较A[0]和A[1]，然后将较大值赋值给Max，较小值赋值给min。然后对A[2]……A[n-1]一共n-2个（偶数个）元素进行间隔为2的遍历，每次与上面类似，每次取两值，所以比较的总次数应该为3*(n-2)/2 + 1。

综合所述，长度为n的数组按照上述做法比较的总次数可以从2n缩减到3n/2左右。

具体实现略。

寻找第i小值

寻找最大值和最小值可以遍历寻找，但是寻找第i小值肿么办？第一种办法是先排序，然后直接索引。但是基于比较的排序的执行时间底线是nlogn。而非基于比较的排序又需要各种条件。有木有寻找一种查找效率为O(n)的算法呢，既然是O(n)，那么肯定不能排序了，那不排序又怎么找呢？大家可以回想一下快速排序的分区算法，没执行一次能够找出基准值的最终位置，即左边的值都不大于基准值，右边的值都不小于基准值，这从而让人想起了折半查找，分治思想。

//在区间[low, high)搜索第k小的元素
int RandomizedSearchK(int A[], int low, int high, int k)
{
    if(low == high-1)
        return A[low];

    int r = Partition(A, low, high);  //返回基准值索引
    int n = r - low + 1;  // A[low.....r]的元素个数
    if (n == k)   //基准值正好是第k小
        return A[r];
    else if (n < k)
        RandomizedSearchK(A, r+1, high, k - n);  //查找基准值右边第k-n小
    else
        RandomizedSearchK(A, low, r, k);   // 查找基准值左边第k小
}

不了解RandomizedPartition函数的可以去查看我的另一篇博文。

随机函数

我们常用的伪随机函数rand()，它是返回一个[0, RAND_MAX]的随机数，其中RAND_MAX号称是大整数，在我的系统中是32767。如果要取得[0, n)的随机值，只需rand()%n即可。但是问题来了，比如当n = 20000的时候，rand() = 10000 或者 30000 最后rand()%n的结果都是10000，但是rand() = 15000的时候 rand()%n的结果为15000，也就是说随机到的10000的次数是15000的次数两倍，对每个数的概率不一样，也就不是随机了。所以要更随机一点，可以改写随机算法。

因为 mod 2 == 0或者1的值的个数不好确定，如上例mod 10000最后概率都不相同。所以不能采取mod策略。改写的随机算法是利用 RAND_MAX >= n * bucketsize。其中n表示随机范围，也可以抽象成n个桶，然后bucketsize是每个桶的大小，而且可知每个桶的大小都是相等的（里面的数据一样多），因此随机到的桶的编号的概率是相等的。

// 随机范围[0, n)
int myrand(int n)
{
    int bucketsize = RAND_MAX / n;
    int r;
    do
    {
        r = rand() / bucketsize;
    }while (r >= n);   //即如果 出现的rand()值大于等于 n * bucketsize的值就重新随机
    return r;  // 返回桶子的编号
}