矩阵优化做题简单分类
矩阵优化简单总结
拆点技巧
有些题目中边有长度，但不会太长，如果对于每条边都拆成长度个点的话由于边会太多，导致时间复杂度会爆炸，所以只能拆点，将一个点拆成变成个点，一个点内部连长度为 1 的边。
例题：P4159 [SCOI2009] 迷路，P6772 [NOI2020] 美食家。
点边互换技巧
有些题目不能走上次走过的边，但是矩阵相乘的时候并不知道上次是走的是什么边，只知道上次经过的是哪一个点，所以可以把边和点的角色互换一下，达到不能走回头路的限制。
分段处理技巧
有些题目中会给你一些特殊时间（个数不会太多），满足在这个事件前后边或点的状态是不一样的，或者在这个时间点会获得一些特殊贡献。这种情况我们就不能忽略这个分界点。所以我们可以在分界点和分界点之间用矩阵加速，分界点处特殊处理。
例题：Flights for Regular Customers，P6772 [NOI2020] 美食家。
周期处理技巧
类似于分段处理，只不过这种情况特殊时间的个数太多了，不能枚举，但是特殊时间是循环的，有周期性的。这样我们可以整个整个周期的加速，最后把零头给补一下。
例题：P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼，P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼。
二进制拆分技巧
常常和分段处理技巧一块用。矩阵和矩阵相乘是 \(O(n^3)\) ，而向量乘矩阵是 \(O(n^2)\) 的，有些题目会让你把一个状态多次和矩阵相乘，这样每次相乘都是 \(O(n^3\log T)\) 的。总时间就是 \(O(mn^3\log T)\) 的，\(m\) 是相乘次数会 TLE。但是我们可以把矩阵的二的整数次幂预处理出来，每次用这个状态乘上它们，这样时间就是 \(O(n^3+mn^2\log T)\) 的了。例如 P6772 [NOI2020] 美食家 ，你就可以在处理过关键点之后用这个技巧跳到下一个关键点。
例题：P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值，P6772 [NOI2020] 美食家
广义矩阵
上述情况大多都是求，从 S 到 T 的方案数。有些题目是求从 S 到 T 的最短距离，这种递推式可以用 Floyd 的式子，也是满足结合律的，但由于本人太功利了，并不会证明。还有些题目是和异或操作相关的，这显然满足结合律，可以用矩阵加速。这样的矩阵称作 广义矩阵。
例题：[USACO07NOV]Cow Relays G，P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值，P6772 [NOI2020] 美食家，[NOI Online #1 入门组] 魔法，P3502 [POI2010]CHO-Hamsters。
发现？？？
会发现 P6772 [NOI2020] 美食家 这一题覆盖了大多数技巧，是一道非常好的矩阵优化题目。
标签&简单题解
这个题非常裸，n 只有八矩阵就是你指向你两边，注意 E 只能指向自己。
这一题用到了拆点的技巧，也非常裸。
这个题就有点意思了，不能经过上次经过的边，可以考虑把边换成点，一正一反。
4.Flights for Regular Customers
这个题的做法有点类似 P6772 [NOI2020] 美食家，都是从小到大枚举一个节日或时间啥的，这个时间段前后要特殊处理一下，本题就是统计这个时间之前能到达的点，并且在这个时间之后解锁一条边。
注意 lcm(2,3,4)=12 所以我们可以把一个点拆成12个，然后分成12种时间建图。先把整块12的跑掉，再跑零头。
广义矩阵，将 \(+\) 改为 min ，\(\times\) 改为 \(+\) 即可，类似于 Floyd。
7.P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值
广义矩阵，此题用到了技巧 向量乘矩阵是 \(O(n^2)\)，可以先预处理出矩阵的幂次，对于每个向量能 \(O(n^2\log n)\) 计算而非 \(O(n^3\log n)\)。
广义矩阵，这个题的做法有点类似 Flights for Regular Customers，都是从小到大枚举一个节日或时间啥的，这个时间段前后要特殊处理一下，本题就是在美食节当天给这个位置的收获加上贡献，之后在用矩阵加速，说白了就是两个特殊时间矩阵加速，特殊时间特殊处理。
硬要说的话和 P2233 [HNOI2002]公交车路线) 有点像，但是这一题在每个时间都可以停止，那一题是在一个位置可以停止，对于这种可以随时停止的需要再开一个节点记录答案，如果想停止，直接走向新开的节点。
广义矩阵，先做一遍 Floyd ，考虑从 i 到 j 翻转一次的最小值，胡乱整一下，反转 \(K\) 次就行了，细节有点多。
11.P3502 [POI2010]CHO-Hamsters
没用矩阵，但这一题和 [USACO07NOV]Cow Relays G 几乎一模一样，🕊️
12.P3821 Isaac
和 P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼 真是一模不一样，改成广义的就行了，将 \(+\) 改为 min ，\(\times\) 改为 max 即可。
woc，终于有一个和图无关的了（好像 P3502 [POI2010]CHO-Hamsters 也无关，但它和 [USACO07NOV]Cow Relays G 几乎一模一样，所以也有关），而这种 矩阵优化加速递推需要记录你这个位置前 \(K\) 个 a ，通过 \(K\) 个 b 转移 \(n\) 次，每次转移的递推式一模一样，而且能发现，这个式子是又结合律的，所以可以通过矩阵优化加速递推，一般来说，有结合律的东西都可以这样加速。
