Fence Obstacle Course 题解

Fence Obstacle Course

题目描述

​ 给定 \(n\) \((\le 10^5)\)个平台，第 \(i\) 个平台高度为 \(i\)，左右两端点为 \(L_i\),\(R_i\) \((-10^5\le L_i \le R_i \le 10^5)\)。

​ 你现在站在第 \(n\) 个平台上，你的横坐标为 \(S\) \((L_n\le S \le R_n)\)，求一个移动方案(从一个平台的左右端点往下跳)使得你到达位置 \((0,0)\) (\(y=0\) 是一个无限长的平台)并且满足水平移动距离最小，输出这个最小水平移动距离。

题解

O(n^2) 暴力

设 \(f[i][0/1]\) 表示从 \(S\) 到第 \(i\) 块平台的左(0)/右(1)端点的最小值。

如果枚举第 \(i\) 块平台会从哪块平台跳下来的话复杂度过高，还要枚举横坐标并且很麻烦。

考虑第 \(i\) 块平台的左右端点会跳到那个平台，只需要枚举下面的平台 \(j\)。

遇到第一个满足 \(L_j\le L_i \le R_j\) 的平台 \(j\) 时就停下来，\(j\) 就是从平台 \(i\) 的左端点跳到的平台，右端点同理。

L[0]=R[0]=0;
for(int i=n;i>=1;i--){
	for(int j=i-1;j>=0;j--)
	if(L[j]<=L[i]&&L[i]<=R[j]){
		f[j][0]=min(f[j][0],f[i][0]+abs(L[i]-L[j]));
		f[j][1]=min(f[j][1],f[i][0]+abs(R[j]-L[i]));
		break;
	}
	for(int j=i-1;j>=0;j--)
	if(L[j]<=R[i]&&R[i]<=R[j]){
		f[j][0]=min(f[j][0],f[i][1]+abs(R[i]-L[j]));
		f[j][1]=min(f[j][1],f[i][1]+abs(R[i]-R[j]));
		break;
	}
}
cout<<f[0][0]<<'\n';

满分做法

上一个做法的瓶颈在于寻找 \(j\) ，可以通过线段树区间赋值，单点查询操作优化。

具体地，从小到大枚举平台，记录左右端点下面最靠上的平台（线段树中查找），将线段树中 \(L_i\) ~ \(R_i\) 赋值为 \(i\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int delta=100010;//把负坐标偏移成正的
int n,S,L[50010],R[50010],Lto[50010],Rto[50010];
LL f[50010][2];
struct SegmentTree
{int color,l,r;}st[900000];
inline int read()
{
	int x=0;bool w=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return w?-x:x;
}
void build(int p,int l,int r)
{
	st[p].l=l;st[p].r=r;st[p].color=0;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid);
	build(p<<1|1,mid+1,r);
}
void spread(int p)
{
	if(!st[p].color)return;
	st[p<<1].color=st[p<<1|1].color=st[p].color;
	st[p].color=0;
}
int ask(int p,int pos)
{
	if(st[p].l==st[p].r)return st[p].color;
	spread(p);
	int mid=(st[p].l+st[p].r)>>1;
	if(pos<=mid)return ask(p<<1,pos);
	return ask(p<<1|1,pos);
}
void change(int p,int l,int r,int c)
{
	if(l<=st[p].l&&st[p].r<=r)return void(st[p].color=c);
	spread(p);
	int mid=(st[p].l+st[p].r)>>1;
	if(l<=mid)change(p<<1,l,r,c);
	if(mid<r)change(p<<1|1,l,r,c);
}
int main()
{
	n=read();S=read()+delta;
	L[0]=R[0]=delta;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		L[i]=read()+delta;
		R[i]=read()+delta;
	}
	build(1,1,200030);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		Lto[i]=ask(1,L[i]);
		Rto[i]=ask(1,R[i]);
		change(1,L[i],R[i],i);
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[n][0]=S-L[n];
	f[n][1]=R[n]-S;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		f[Lto[i]][0]=min(f[Lto[i]][0],f[i][0]+abs(L[i]-L[Lto[i]]));
		f[Lto[i]][1]=min(f[Lto[i]][1],f[i][0]+abs(R[Lto[i]]-L[i]));
		f[Rto[i]][0]=min(f[Rto[i]][0],f[i][1]+abs(R[i]-L[Rto[i]]));
		f[Rto[i]][1]=min(f[Rto[i]][1],f[i][1]+abs(R[i]-R[Rto[i]]));
	}
	cout<<f[0][0]<<'\n';
}