随手记

1）在计算几何中，对于整点个数的求法：

皮尔定理：

　　2S = 2a + b - 2，其中S表示多边形面积，a表示多边形内的整点个数，b位边上的整点个数；

关于边上的整点个数求法：

　　通常以边在x，y轴上的投影长度进行计算，比如某边E对应x轴长度为a，对应y轴长度为b，则E边上整点个数 b(E) = gcd(a, b)+1，我是这样想的：

　　　　求出gcd(a, b)，则有(a', b') * gcd(a, b) = (a, b)，而a'与b'必为整点且互素且与(a, b)在一条边上（即不可再有满足条件的更小的整点），那么gcd(a, b)作为倍数即可表示整点个数，再加上边上的

　　另一个端点即+1，就为边上的点个数；

　　计算边上的整点个数时应当注意重叠问题。

 

2）平方和求和公式：

　　相关证明：https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F/3264126

　　立方和公式：

　　相关证明：https://baike.baidu.com/item/%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F/10557155

 

 3）博弈论

　　尼姆博弈：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

　　　　对于n堆物品，第i堆物品有ai件；

　　　　以https://www.nowcoder.com/acm/contest/86/E为例：

　　代码：

#include "stdio.h" 
#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "math.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
    //freopen("test.txt", "r", stdin);///////////////
    ll s[100005], n, q, op1, op2, ans;
    while(cin>>n>>q){
        ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            cin>>s[i];
            ans ^= s[i];
        }
        while(q--){
            cin>>op1>>op2;
            op1--;
            ans ^= s[op1];
            ans ^= op2;
            s[op1] = op2;
            cout<<(ans ? "Kan":"Li")<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

　　最后ans为0，则先手必败。

 

 4）对于一个b进制下的一个分数p / q，判断其是否为一个有限小数的方法：

　　　　先将其转化为一个最简分式 [即q/gcd（p， q）]，若为有限小数，那么有正整数r使得 q | b^r（根据小数的计算方法），也就是说q的所有质因数都为b的质因数（因为所有数都可以用质数表示）；

　　　　最后可以用一个while实现。

 

5）扩展欧几里得算法：

　　　　求解一组正整数 （x，y）解使得对应于一对正整数（a，b）有 a*x + b*y = (a, b); 该解一定存在（贝祖等式）。

　　　　C++代码：　　

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int q = exgcd(b, a % b, y, x); //q为最大公因数 
    y -= a/b*x;
    return q;
}
////找到公因数之后回溯的同时进行逆推计算系数

 

6）① a,  b为两个正整数，则2^a - 1 被 2^b - 1 除的最小非负余数为 2^r - 1，其中 r 是a 被 b除的最小非负余数：

　　　　证明：当a < b 时 明显成立；反之，有 a = q*b + r（0 <= r <=b）， 即有 2^a - 1 = 2^r((2^b)^q - 1) + 2^r - 1 = q1(2^b - 1) + 2^r - 1,

　　　　　　　其中 q1 = 2^r((2^b)^(q-1) + ... + 2^b + 1) 为整数，结论成立；

　  ② 设 a， b 是两个正整数，则2^a - 1 和 2^b - 1的最大公因数为2^(a,b) - 1;（由欧几里得除法和）① 可得。

　  ③ 则有 正整数 2^a - 1 和 2^b - 1 的最大公因数是 2^(a,b) - 1（证明：因为 （2^a - 1,  2^b - 1）= 2^(a,b) - 1 ， 而2^(a,b) - 1 即 （a, b）= 1）.

 

7）整数分解定理：

　　对于正合数 n > 1, 如果存在整数 a, b 使得 n | a^2 - b^2，但 n ト a - b，n ト a + b，

　　　　则 （n, a-b）和（n, a+b）都是 n 的真因数（非1或n， 反证法）。

 

8）素数定理：

　　设 φ(x) 为不大于 x 的素数个数；

　　契比谢夫不等式：当x >= 2, (ln 2 /3)*(x / ln x) < φ(x) < 6*ln 2 (x / ln x);

　　素数定理：lim(x→∞)(φ(x) / (x / ln x)) = 1;

 

9）为什么OSI七层模型中只有数据链路层即将传输的数据添加报尾？

来自WikiPedia：
　　- 数据链路层（Data Link Layer）负责网络寻址、错误侦测和改错。当表头和表尾被加至数据包时，会形成帧。数据链表头（DLH）是包含了物理地址和错误侦测及改错的方法。数据链表尾（DLT）是一串指示数据包末端的字符串。例如以太网、无线局域网（Wi-Fi）和通用分组无线服务（GPRS）等。
　　分为两个子层：逻辑链路控制（logical link control，LLC）子层和介质访问控制（media access control，MAC）子层。

　　也就是说数据链路层所谓倒数第二层对分组的数据添加报尾，从而形成一个帧，实现对数据的分割。接收方也可据此进行识别。

 

10）VBE Decode

　　只要将 0~0xff 范围内的字符全部使用VBS的Encoder编码，得到（原文 --- 密文）映射关系，就可以解码VBE得到VBS。

　　相关脚本比较多，比如：http://didierstevens.com/files/software/decode-vbe_V0_0_1.zip

　　从中摘的一小段：

... ...
result = ''
index = -1
for char in data.replace('@&', chr(10)).replace('@#', chr(13)).replace('@*', '>').replace('@!', '<').replace('@$', '@'):
byte = ord(char)
if byte < 128:
index = index + 1
if (byte == 9 or byte > 31 and byte < 128) and byte != 60 and byte != 62 and byte != 64:
char = [c for c in dDecode[byte]][dCombination[index % 64]]
result += char
... ...

 

11）...