动态规划之矩阵连乘
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如：
A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ;
结果为：((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次为15125。
原问题为n个矩阵连乘，将原问题分解为子问题，即当n等于1,2,3.....时。
n==1时，单一矩阵，不需要计算。最小乘次为0
n==2时，根据n==1时的结果，遍历计算出每相邻两个矩阵的最小乘次
n==3时，根据n==1和n==2时的结果，此时已经求出每相邻1个、2个矩阵的最小乘次，遍历计算出该相邻三个矩阵的最小乘次
依次类推……
当n==n时，根据n==1、2、……n-1时的结果，此时已经求出每相邻1个、2个、3个……n-1个矩阵的最小乘次，由此求出n==n时的最小乘次
每当n增加1时，就利用已求出的子结构来求解此时的最优值。
数学描述如下：
设矩阵Ai的维数为Pi × Pi+1。
设A[i:j]为矩阵AiAi+1....Aj的连乘积，即从Ai到Aj的连乘积，其中，0 <= i <= j <= n-1
设m[i][j]为计算A[i:j]的最小乘次，所以原问题的最优值为m[0][n-1]。
当 i==j 时，单一矩阵，无需计算。m[i][i]=0，i=0,1，....n-1
当 i < j 时，利用最优子结构，计算m[i][j]。即寻找断开位置k(i <= k < j)，使得m[i][k]+m[k+1][j]+Pi*Pk+1*Pj+1最小。
该算法的python实现：
1 # coding=gbk 2 # 矩阵连乘问题 3 __author__ = 'ice' 4 5 6 # row_num 每个矩阵的行数 7 class Matrix: 8 def __init__(self, row_num=0, col_num=0, matrix=None): 9 if matrix != None: 10 self.row_num = len(matrix) 11 self.col_num = len(matrix[0]) 12 else: 13 self.row_num = row_num 14 self.col_num = col_num 15 self.matrix = matrix 16 17 18 def matrix_chain(matrixs): 19 matrix_num = len(matrixs) 20 count = [[0 for j in range(matrix_num)] for i in range(matrix_num)] 21 flag = [[0 for j in range(matrix_num)] for i in range(matrix_num)] 22 for interval in range(1, matrix_num + 1): 23 for i in range(matrix_num - interval): 24 j = i + interval 25 count[i][j] = count[i][i] + count[i + 1][j] + matrixs[i].row_num * matrixs[i + 1].row_num * matrixs[j].col_num 26 flag[i][j] = i 27 for k in range(i + 1, j): 28 temp = count[i][k] + count[k + 1][j] + matrixs[i].row_num * matrixs[k + 1].row_num * matrixs[j].col_num 29 if temp < count[i][j]: 30 count[i][j] = temp 31 flag[i][j] = k 32 traceback(0, matrix_num - 1, flag) 33 return count[0][matrix_num - 1] 34 35 36 def traceback(i, j, flag): 37 if i == j: 38 return 39 if j - i > 1: 40 print(str(i + 1) + '~' + str(j + 1), end=': ') 41 print(str(i + 1) + ":" + str(flag[i][j] + 1), end=',') 42 print(str(flag[i][j] + 2) + ":" + str(j + 1)) 43 traceback(i, flag[i][j], flag) 44 traceback(flag[i][j] + 1, j, flag) 45 46 47 matrixs = [Matrix(30, 35), Matrix(35, 15), Matrix(15, 5), Matrix(5, 10), Matrix(10, 20), Matrix(20, 25)] 48 result = matrix_chain(matrixs) 49 print(result) 50 51 # 1~6: 1:3,4:6 52 # 1~3: 1:1,2:3 53 # 4~6: 4:5,6:6 54 # 15125
