大臣的旅费（树的直径、两次dfs）

很久以前，T王国空前繁荣。

为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。

同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。

所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。

他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。

J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式
输入的第一行包含一个整数 n，表示包括首都在内的T王国的城市数。

城市从 1 开始依次编号，1 号城市为首都。

接下来 n−1 行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是 n−1 条）。

每行三个整数 Pi,Qi,Di，表示城市 Pi 和城市 Qi 之间有一条双向高速路，长度为 Di 千米。

输出格式
输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

数据范围
1≤n≤105,
1≤Pi,Qi≤n,
1≤Di≤1000
输入样例：
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4
输出样例：
135

分析：

算法分析1
由于题目说到不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。因此可以知道该图是一棵树，本题求的是树的直径

树的直径：树中长度最长的路径

1、任取一点x

2、找到距离x最远的点y

3、从y开始遍历，找到离y最远的点，与y最远的点的距离是树的直径

证明：y一定是树的直径的端点

假设y不是树的直径的端点，分两种情况，如图所示，其中uv是树的直径

https://cdn.acwing.com/media/article/image/2020/01/22/7416_b4f1c07a3d-edb3811ce18d6cb9a3a702c619c567b.png

情况1：xy与uv有交点，由于离x最远的点是y，因此

有 1 + 3 <= 3 + 4

即 3 <= 4

则 3 + 2 <= 4 + 2

由于 3 + 2是树的直径，因此4 + 2一定是树的直径，因此y不是树的直径的端点矛盾

情况2:xy与uv没有交点，由于离x最远的点是y，因此

有 1 + 2 >= 1 + 3 + 5

即 2 >= 3 + 5

即 2 > 5

则 2 + 3 > 5

则 2 + 3 + 5 > 4 + 5

由于 4 + 5是树的直径，但存在着一个长度更长的路径，因此y不是树的直径的端点矛盾

因此，y一定是树的直径的端点

方法1
dfs
1、通过深度优先遍历找到与x的最远距离的点y

2、再通过深度优先遍历找到与y的最远距离

注意：递归函数需要记录上一结点father

时间复杂度 O(n)

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
struct edge{
    int id,w;//定义每个节点的编号和去该点的距离
};
vector<edge> h[N];//用vector存储图
int dist[N];//存放离当前节点的最大距离
void dfs(int u,int father,int distance){
    dist[u]=distance;
    for(auto node:h[u])//遍历当前节点可以到达的节点
        if(node.id!=father)//排除父节点防止返回
        dfs(node.id,u,distance+node.w);
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        h[a].push_back({b,c});
        h[b].push_back({a,c});
    }
    
    dfs(1,-1,0);//可从任一点开始dfs，找到该点能到达的所有点
    
    int u=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(dist[i]>dist[u])
        u=i;//找到与当前点距离最远的一个点（即树的直径的一个端点）
        
    dfs(u,-1,0);//再找到树的直径的端点能到达的所有点
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(dist[i]>dist[u])
        u=i;//找到最远的那个点，就找到了当前树的直径的另一个端点
    int s=dist[u];//树的直径
    printf("%lld",10*s+s*(s+1ll)/2);//可能爆int转成LL，根据题意推出路费和距离的关系
    return 0;
    
}