leetcode 4. 寻找两个正序数组的中位数 (二分)

题目描述：

　　给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

 题解：

　　转自（https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/xiang-xi-tong-su-de-si-lu-fen-xi-duo-jie-fa-by-w-2/）。不妨换个思路，题目要求的是中位数，其实也就是求第$k$小数的一种特殊情况，而求第k小的话有一种算法。假设我们要找第 k 小数，我们可以每次循环排除掉 k/2 个数。看下边一个例子。假设我们要找第 7 小的数字，如下图：

　　我们比较两个数组的第 $k/2$ 个数字，如果 $k$是奇数，向下取整。也就是比较第$3$个数字，上边数组中的$4$和下边数组中的$3$,如果哪个小，就表明该数组的前$k/2$个数字都不是第$k$小数字，所以可以排除。也就是 $1$,$2$,$3$这三个数字不可能是第$7$小的数字，我们可以把它排除掉。将$1349$和$45678910$两个数组作为新的数组进行比较。

　　更一般的情况 $A[1] ，A[2] ，A[3]，A[k/2] ... ，B[1]，B[2]，B[3]，B[k/2] ... $，如果 $A[k/2]<B[k/2]$ ，那么$A[1]，A[2]，A[3]，A[k/2]$都不可能是第$k$小的数字。$A$ 数组中比 $A[k/2]$ 小的数有 $k/2-1$ 个，$B$ 数组中，$B[k/2]$ 比 $A[k/2]$ 小，假设 $B[k/2]$ 前边的数字都比 $A[k/2]$ 小，也只有 $k/2-1$ 个，所以比 $A[k/2]$ 小的数字最多有 $k/1-1+k/2-1=k-2$个，所以 $A[k/2]$ 最多是第 $k-1$ 小的数。而比 $A[k/2]$ 小的数更不可能是第 $k$小的数了，所以可以把它们排除。橙色的部分表示已经去掉的数字。　　

　　由于我们已经排除掉了 $3$个数字，就是这$3$个数字一定在最前边，所以在两个新数组中，我们只需要找第 $7 - 3 = 4$小的数字就可以了，也就是 $k = 4$。此时两个数组，比较第$ 2$ 个数字，$3 < 5$，所以我们可以把小的那个数组中的 $1 ，3$排除掉了。

 

 

　　我们又排除掉 $2$ 个数字，所以现在找第 $4 - 2 = 2$ 小的数字就可以了。此时比较两个数组中的第 $k / 2 = 1$ 个数，$4 == 4$，怎么办呢？由于两个数相等，所以我们无论去掉哪个数组中的都行，因为去掉 $1$ 个总会保留 1 个的，所以没有影响。为了统一，我们就假设$4 > 4$ 吧，所以此时将下边的 4 去掉。　　

　　由于又去掉 1 个数字，此时我们要找第 1 小的数字，所以只需判断两个数组中第一个数字哪个小就可以了，也就是 4。所以第 7 小的数字是 4。我们每次都是取 $k/2$的数进行比较，有时候可能会遇到数组长度小于 k/2的时候。

 　　此时 $k/2$ 等于 3，而上边的数组长度是 2，我们此时将箭头指向它的末尾就可以了。这样的话，由于 $2 < 3$，所以就会导致上边的数组 1，2 都被排除。造成下边的情况。

 　　由于 2 个元素被排除，所以此时 k = 5，又由于上边的数组已经空了，我们只需要返回下边的数组的第 5 个数字就可以了。

　　从上边可以看到，无论是找第奇数个还是第偶数个数字，对我们的算法并没有影响，而且在算法进行中，k 的值都有可能从奇数变为偶数，最终都会变为 1 或者由于一个数组空了，直接返回结果。

　　所以我们采用递归的思路，为了防止数组长度小于 k/2，所以每次比较 min(k/2，len(数组) 对应的数字，把小的那个对应的数组的数字排除，将两个新数组进入递归，并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k=1 或者其中一个数字长度是 0 了。

AC代码：

　　

class Solution {
public:
    int getK(vector<int> nums1,vector<int> nums2,int s1,int e1,int s2,int e2,int k)
    {
        int len1 = e1-s1+1;
        int len2 = e2-s2+1;
        //让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1 
        if(len1 > len2) return getK(nums2,nums1,s2,e2,s1,e1,k);
        if (len1 == 0) return nums2[s2 + k - 1];

        if (k == 1) return min(nums1[s1], nums2[s2]);

        int i = s1 + min(len1, k / 2) - 1;
        int j = s2 + min(len2, k / 2) - 1;

        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            // return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
            return getK(nums1,nums2,s1,e1,j+1,e2,k - (j - s2 + 1));
        }
        else {
            // return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
            return getK(nums1,nums2,i+1,e1,s2,e2,k-(i-s1+1));
        }


    }


    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size();
        int m = nums2.size();
        int l = (n+m+1)/2;
        int r = (n+m+2)/2;
         //将偶数和奇数的情况合并，如果是奇数，会求两次同样的 k 。
        return (getK(nums1,nums2,0,n-1,0,m-1,l) + getK(nums1,nums2,0,n-1,0,m-1,r))*0.5;
  
    }
};