机器学习--PCA与SVD
一、主成分分析（PCA）
主成分分析中，首先对给定数据进行规范化，使得数据每一变量的平均值为0，方差为1。之后对数据进行正交变换，原来由线性相关变量表示的数据，通过正交变换变成由若干个线性无关的新变量表示的数据。新变量是可能的正交变换中变量的方差的和（所需要保存的信息量）最大的，方差表示在新变量上信息的大小。将新变量依次称为第一主成分、第二主成分等。
1.1 基本定义
假设$x = (x_{1},x_{2},...,x_{m})^T$是$m$维随机变量，其均值为$\mu$
协方差矩阵为$\sum$
考虑由$m$维随机变量$x$到m维随机变量$y = (y_{1},y_{2},...y_{m})^T$的线性变换：
其中$a_{i}^T = (a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}), i = 1,2,...,m$。由随机变量的性质可知：
给定一组随机变量$y = (y_{1},y_{2},...y_{m})^T$，如果它们满足以下三个条件：
- 系数向量$a_{i}^T$是单位向量，即$a_{i}^{T}a_{i} = 1, i = 1,2,...,m$;
- 变量$y_{i}$与变量$y_{j}$互不相关，既$cov(y_{i},y_{j}) = 0 (i \neq j)$;
- 变量$y_{1}$是$x$的所有线性变换中方差最大的；$y_{2}$是与$y_{1}$不相关的$x$的所有线性变换中方差最大的；一般地，$y_{i}$是与$y_{1},y_{2},...,y_{i-1}$都不相关的$x$的所有线性变换中方差最大的；
这时分别称$y_{1},y_{2},...,y_{m}$为$x$的第一主成分、第二主成分、...第$m$主成分。
1.2 主要性质以及证明
假设$x$是$m$维随机变量，$\sum$是$x$的协方差矩阵，$\sum$的特征值分别是$\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq ... \geq \lambda_{m} \ geq 0$，特征值对应的单位特征向量分别是$a_{1},a_{2},...a_{m}$，则$x$的第$k$个主成分为：
$x$的第$k$个主成分的方差为：
即协方差矩阵$\sum$的第$k$个特征值。下面用拉格朗日乘子法给出证明：
首先求$x$的第一主成分$y_{1} = a_{1}^{T}x$，既求系数向量$a_{1}$。由于系数向量是单位特征向量，则第一主成分的$a_{1}$是在$a_{1}^{T}a_{1}$条件下，$x$的所有线性变换方差$var(a_{1}^{T}x) = a_{1}^{T} \sum a_{1} $达到最大。那么求解第一主成分就是求解约束最优化问题：
定义拉格朗日函数：
其中$\lambda$是拉格朗日乘子。将拉格朗日函数对$a_{1}$求导，并令其为0，得：
因此，$\lambda$是$\sum$的特征值，$a_{1}$是对应的单位特征向量。于是，目标函数：
假设$a_{1}$是$\sum$的最大特征值$\lambda_{1}$对应的特征向量，显然$a_{1}$与$\lambda_{1}$是最优化问题的解。接下来求解$x$的第二主成分，第二主成分除了要保证自己是单位特征向量之外，还需要与$y_{1}$线性无关，求解$x$的第二主成分等价于如下约束最优化问题：
注意到：
以及：
定义拉格朗日函数：
其中$\lambda,\phi$是拉格朗日乘子。对$a_{2}$求导，并令其为0，得：
将方差左乘$a_{1}^{T}$有：
此式前两项为0，且$a_{1}^{T}a_{1} = 1$，导出$\phi = 0$，因此有：
由此可知$a_{2},\lambda_{2}$是以上问题的最优解。按照上述方法可依次证明第$k$个主成分由协方差矩阵$\sum$的特征向量构成,证毕。
1.3 主成分分析求解过程
假设对$m$维随机变量$x = (x_{1},x_{2},...,x_{m})^T$进行$n$次独立观测，$x_{1},x_{2},...,x_{n}$表示观测样本，其中$x_{j} = (x_{1j},x_{2j},...,x_{jm})^T$表示第$j$个样本，$x_{ij}$表示第$j$个观测样本的第$i$个变量，$j = 1,2,..,n$。观测数据样本用样本矩阵$X$表示，极作：
给定样本矩阵$X$，可以估计出均值以及样本方差。样本均值向量$\bar{x}$为：
样本协方差矩阵为：
其中$\bar{x}_{i}$表示第$i$个变量的均值。样本的相关矩阵$R$为:
在实际使用$PCA$的时候，一般假设样本是规范化的，即对样本矩阵作如下变换:
其中：
为了方便描述，把规范化之后的样本矩阵记作$X$。这时样本方差矩阵$S$就是样本相关矩阵$R$：
样本协方差矩阵$S$是总体协方差矩阵$\sum$的无偏估计，样本相关矩阵R是总体相关矩阵的无偏估计。$S$的特征值和特征向量是$\sum$的特征值和特征向量的极大似然估计。接下来介绍求解$R$的$k$个特征值和对应的$k$个单位特征向量的方法（即使用奇异值分解的方式求解PCA）。
对于$m x n$实矩阵,假设其秩为$r$，$0 < k < r$，则可以将矩阵$A$进行阶段奇异值分解：
上式中$U_{k}$为$m x k$矩阵，$V_{k}$是$n x k$矩阵，$\sum_{k}$是$k$阶对角矩阵；$U_{k}$，$V_{k}$分别取自$A$的完全奇异值分解的矩阵$U$,$V$的前$k$列，$\sum_{k}$为$A$的完全奇异值分解的矩阵$\sum$的前$k$个对角线元素得到。定义一个新的$n x m$矩阵$X^{’}$:
$X^{’}$的每一列均值为零。不难得知：
即$X^{'T}X^{'}$等于$X$的协方差矩阵$S_{X}$。
所以问题转化为求矩阵$X^{'T}X^{'}$的特征值以及对应的单位特征向量。假设$X^{'}$的截断奇异值分解为$X^{'} = U{\sum}V^{T}$，那么$V$的列向量就是$S_{X} = X^{'T}X^{'}$的单位特征向量。因此，$V$的列向量就是$X$的主成分。于是，求$X$主成分可以通过求$X^{'}$的奇异值分解来实现。算法流程如下：
二、SVD（待整理）
