数位dp基础

　　数位动态规划是一类特殊的动态规划，它的形式一般为：给定下界$l$和上界$r$，求$[l,r]$之间满足某一要求的元素个数。一般来说，数位动态规划有一个特定的状态表达：$f[pos][stats][bound]$。简单对$pos$,$stats$,$bound$做一个说明：

　　Pos: 第一维表示现在处理到了数的第pos位。在数位dp中，一般从数的高位到低位，一位一位的处理下去。例如当 $l = 13$,上界 $r = 678$的时候，我们会将上下界的高位补零使得它们有相同的位数，既$(l,r) = (013,678)$。随后从高位开始进行dp。

　　Stats: 在$pos$位之前的哪些数的状态被压缩成了$stats$。举个简单的例子，假设我们要求出$[l,r]$之间各位数字之和是$5$的倍数的数的个数，那么此$stats$就可以表示为“在pos位之前那些数的数字之和为mod 5 的值”，这样我们只有一位就可以表示$pos$位之前的状态。如果在第${pos}$位我们选择了数d,那么动态规划中的下一个状态就为${f}[pos+1][(stats+mod) mod 5][...]$。

　　Bound: 在$pos$位之前的那些数字和$l,r$的关系为$bound$ 。继续举例子，假如要求出[013, 678]之间各位数字之和是5的倍数的数的个数:

• 如果最高位选择了2，它和上下界的最高位数没有任何关系，因此对于次高位的数字，我们可以在[0,9]之间任意选择。
• 如果最高位选择了6，此时这个数字是贴着上界的，也就是说对于次高位置的数字，我们只能在$[0,7]$之间选择，其中7就是上界的次高位的数字。
• 如果最高位选择了0，此时这个数字是贴着下届的，也就是说对于次高位置的数字，我们只能在$[1,9]$之间选择，其中1是下界的次高位的数字。
• 此外，还有一种最为特殊的情况。如果上下界为$ (l, r) = (123, 156)$，并且最高位我们选择了 1，那么此时这个数字既「贴着」上界，也「贴着」下界，对于次高位的数字，我们只能在 [2, 5]之间选择，其中 2 是下界的次高位数字，5 是上界的次高位数字。

　　综上所述,$bound$共有4中不同的取值情况，分别为0,1,2,3,解释如下:

• 如果和上下界没有任何关系，那么取值为 0，并且以后也不可能和上下界有关系；
• 如果「贴着」下界，那么取值为 1，并且只有当第$pos$ 位取了下界对应位置的数字时，才会延续 1 值，否则会变为 0；
• 如果「贴着」上界，那么取值为 2，并且只有当第 $pos$ 位取了上界对应位置的数字时，才会延续 2 值，否则会变为 0；
• 如果同时「贴着」上下界，那么取值为 3，并且：如果 $pos$ 位同时取了上下界对应位置的数字（此时上下界对应位置的数字一定相同），那么延续 3值；如果$ pos $位取了下界对应位置的数字，那么会变为 1；如果$ pos$ 位取了上界对应位置的数字，那么会变为 2；其余情况会变为 0。

　　而对于$ f[pos][stats][bound]$ 的值本身，它表示「满足上述条件的数的个数」。这样以来，我们可以使用记忆化搜索（DFS + memo）的方法进行动态规划即：$f[pos][stats][bound] = \sum_{d} f[pos+1][g_{s}(stats,d)][g_{b}(bound,d)]$。

　　其中$d$为第$pos$位选择的数字；$g_{b}(bound,d)$是关于bound的转移函数，例如上文中0，1，2，3之间的转化；$g_{s}(stats,d)$是关于${stats}$的转移函数。最终答案存放在$f[0][stats_{init}][3]$中，即满足「枚举到最高位、初始状态、同时贴着上下界（可以想象成更高位还可以补零，那么在最高位之前的数字都是贴着上下界的）」的数的个数，也就是需要求出的答案。

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