威佐夫博弈

http://blog.csdn.net/tingfengx/article/details/7853655

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

 

用实数对来表示石子的情况，（0,0）（1,2）（1,3）（3,5）（3,6）等等

可以从前几对来看出当你遇到（0,0）（1,2）（3,5）时一定会输，而（1,3）（3,6）则可以赢

将实数对分为成功点和失败点，失败点分别为（0,0）（1,2）（3,5）（4,7）……

失败点有如下的性质

1.所有自然数都会且仅会出现在一个必败点中

2.规则允许的任意操作可将必败点移动到必胜点

3.一定存在规则允许的某种操作可将必胜点移动到必败点

1.所有自然数都会且仅会出现在一个必败点中；

证明：m(k)是前面没有出现过的最小自然数，自然与前k-1个必败点中的数字都不同；m(k)>m(k-1)，否则违背m(k-1)的选择原则；n(k)=m(k)+k>m(k-1)+(k-1)=n(k-1)>m(k-1)，因此n(k)比以往出现的任何数都大，即也没有出现过。又由于m(k)的选择原则，所有自然数都会出现在某个必败点中。性质1证毕。

2.规则允许的任意操作可将必败点移动到必胜点；

证明：以必败点(m(k),n(k))为例。若只改变两个数中的一个，由于性质1，则得到的点一定是必胜点；若同时增加两个数，由于不能改变两数之差，又有n(k)-m(k)=k，故得到的点也一定是必胜点。性质2证毕。

3.一定存在规则允许的某种操作可将必胜点移动到必败点；

证明：以某个必胜点(i,j)为例。因为所有自然数都会出现在某个必败点中，故要么i等于m(k)，要么j等于n(k)。若i=m(k)，j>n(k)，可从j中取走j-n(k)个石子到达必败点；若i=m(k)，j<n(k)，可从两堆同时拿走m(k)-m(j-m(k))，从而到达必败点(m(j-m(k))，m(j-m(k))+j-m(k))；若i>m(k)，j=n(k)，可从i中取走i-m(k)个石子到达必败点；若i<m(k)，j=n(k)，需要再分两种情况，因为i一定也出现在某个必败点中，若i=m(l)，则从j中拿走j-n(l)，若i=n(l)，则从j中拿走j-m(l)，从而到达必败点(m(l),n(l))。性质3证毕。

判断一个点是不是必败点的公式与黄金分割有关，为：

m(k) = k * (1 + sqrt(5))/2

n(k) = m(k) + k

 

例：HDU 1527

思路：威佐夫博奕问题，最重要的是判断当前是否是奇异局势（奇异局势能够确定必胜态和必败态），若开始时是非奇异局势，则先拿者必胜，反之后拿者取胜。这里有个的奇异局势是，(a=aj,bj=aj+j,)，即a=[j*（1+sqrt(5.0)）/2];

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.*;
import java.text.*;

public class Main {

int a, b;

void run() {
while (cin.hasNext()) {
a = cin.nextInt(); b = cin.nextInt();
if (a > b) {
int temp = a;
a = b;
b = temp;
}
int k = b - a;
int temp = (int)((1 + Math.sqrt(5)) / 2 * k);
if (a == temp) out.println(0);
else out.println(1);
}
}

public static void main(String[] args) throws Exception {
new Main().run();
out.close();
}

static Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
// static BufferedReader cin = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); zbb v
}