球放进盒子问题(8种, 可变形)
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(1)盒子不同,球不同,允许有空。
由于每个球有n种选法,故有nm种。
(2)盒子不同,球相同,允许有空。(隔板法)
例:将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?
分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法.
解析:将20个小球分成三组需要两块隔板,因为允许有盒子为空,不符合隔板法的原理,那就人为的再加上3个小球,保证每个盒子都至少分到一个小球,那就符合隔板法的要求了。然后就变成待分小球总数为23个,球中间有22个空档,需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份,共有C(22,2)=231种不同的方法
理解:每次选好后(每个盒子都有至少一个球),再把每个盒子减去一,就是最总应该选的数量。
(3)盒子不同,球相同,不行有空。
以上两种可返朴归真到求不定方程 的非负整数解及正整数解的个数的问题。由此得出(2)的结果为(,原来的,感觉有错,现在:
(4)盒子相同,球不同,不许有空。
(5)盒子不同,球不同,不许有空。
(6)盒子相同,球不同,允许有空。
其中(4)可返朴归真到集合问题,即令,且A1, A2,…, An为A的n个非空相斥的真子集,且,求有几类这样的划分方法。
(5)题与(4)题惟一的区别即为盒子是不同的,在(4)的基础上乘以n!即可。答案为:
将(6)分类讨论:恰有k个盒子有(或无)空(k=1,2,…,n)。若记(4)为f(m,n),则(6)的结果为,即有种放法。
(7)盒子相同,球相同,不许有空。
(8)盒子相同,球相同,允许有空。
(7)可返朴归真为数的分拆问题。即把正整数m分拆为n个正整数相加的形式(无序)的分法。如5=1+2+2视作一种分法,5=1+2+2与5=2+1+2视作同一种分法。根据数列知识易求得答案为:
记(7)为g(m,n)